Nas caracterizaçōes elásticas realizadas neste experimento, mediram-se as deformaçōes \Delta z e as cargas \Delta m. A relação entre estas medidas é denominada coeficiente elástico C :
C=\frac{\Delta z}{\Delta m}
No entanto, a formulação da lei de Hooke relaciona a deformação \Delta z à força \Delta F aplicada ao sistema, tal que
\Delta F=k \Delta z,
onde k é denominada constante elástica. Uma vez que, nesta prática experimental, as massas foram suspensas na vertical, tem-se que \Delta F=\Delta m g. Com isso, relacione as equações 12.2 e 12.3 e mostre que
k=\frac{g}{C}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que você mostre uma relação entre as grandezas:
  • É definida a relação experimental entre deformação e massa: C=\frac{\Delta z}{\Delta m}.
  • A lei de Hooke (forma linear) relaciona força e deformação: \Delta F = k\,\Delta z,
onde \Delta F é a variação de força e k é a constante elástica que queremos expressar.
  • Como as massas foram suspensas verticalmente, a variação de força corresponde ao peso adicional: \Delta F = \Delta m\,g,
onde g é a aceleração da gravidade (uma constante conhecida, aproximadamente 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} na superfície da Terra).
  • O objetivo é mostrar que k=\frac{g}{C}.

Passo 2

Primeiro, isole \Delta z a partir da definição do coeficiente elástico C. A equação dada é C=\frac{\Delta z}{\Delta m}.
Multiplicando ambos os lados por \Delta m obtemos a expressão para a deformação em função de \Delta m: \Delta z = C\,\Delta m.
Explicação didática: isto diz que, experimentalmente, para cada aumento de massa \Delta m a mola (ou sistema elástico) sofre um alongamento \Delta z proporcional por C. Aqui \Delta z tem unidade de comprimento (por exemplo metros) e \Delta m tem unidade de massa (por exemplo quilogramas), então C tem unidade de comprimento por massa (por exemplo \mathrm{m/kg}).

Passo 3

Agora isole k a partir da lei de Hooke. A lei de Hooke é \Delta F = k\,\Delta z.
Isolando k obtemos: k = \frac{\Delta F}{\Delta z}.
Explicação didática: isso significa que a constante elástica k é a razão entre a variação de força aplicada e a variação de deformação resultante. A unidade de k será força por comprimento (por exemplo \mathrm{N/m}).

Passo 4

Substitua na expressão de k a relação entre \Delta F e \Delta m válida para massas suspensas verticalmente: \Delta F = \Delta m\,g.
Substituindo em k = \dfrac{\Delta F}{\Delta z} obtemos: k = \frac{\Delta m\,g}{\Delta z}.
Explicação didática: aqui estamos trocando a variação de força pela variação do peso causado pela massa adicional \Delta m. É a ligação entre massa adicionada e força extra aplicada ao sistema.

Passo 5

Agora substitua a expressão de \Delta z obtida no Passo 2, \Delta z = C\,\Delta m, dentro da fórmula anterior: k = \frac{\Delta m\,g}{C\,\Delta m}.
Explicação didática: estamos expressando tudo em termos de \Delta m e cancelando para obter uma relação entre k, g e C.

Passo 6

Cancele \Delta m no numerador e denominador (assumindo \Delta m\neq 0, o que é natural pois tratamos de variação de massa não nula). O resultado é: k = \frac{g}{C}.
Explicação didática: o cancelamento mostra que a constante elástica k independente do valor específico de \Delta m usado nas medidas — desde que se mantenha na região linear onde Hooke vale — e depende apenas da gravidade g e do coeficiente experimental C.

Passo 7

Verificação de unidades e observação prática:
  • Unidades: \,g tem unidade \mathrm{m/s^2} e C tem unidade \mathrm{m/kg}. Assim \frac{g}{C}\\ \text{tem unidade}\\ \frac{\mathrm{m/s^2}}{\mathrm{m/kg}}=\mathrm{kg/s^2}=\mathrm{N/m},
que é exatamente a unidade esperada para k. Bom sinal.
  • Observação experimental: essa dedução assume regime linear (pequenas deformações) e medições em que \Delta m não seja zero. Em prática, mede-se vários pares (\Delta m,\Delta z), calcula-se C pela razão ou por ajuste linear e então obtém-se k por k=g/C.

Resposta

k=\frac{g}{C}

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