Nas caracterizaçōes elásticas realizadas neste experimento, mediram-se as deformaçōes
e as cargas
. A relação entre estas medidas é denominada coeficiente elástico
:
No entanto, a formulação da lei de Hooke relaciona a deformação
à força
aplicada ao sistema, tal que
,
onde
é denominada constante elástica. Uma vez que, nesta prática experimental, as massas foram suspensas na vertical, tem-se que
. Com isso, relacione as equações 12.2 e 12.3 e mostre que
onde
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que você mostre uma relação entre as grandezas:
- É definida a relação experimental entre deformação e massa:
- A lei de Hooke (forma linear) relaciona força e deformação:
onde
é a variação de força e
é a constante elástica que queremos expressar.
- Como as massas foram suspensas verticalmente, a variação de força corresponde ao peso adicional:
onde
é a aceleração da gravidade (uma constante conhecida, aproximadamente
na superfície da Terra).
- O objetivo é mostrar que
Passo 2
Primeiro, isole
a partir da definição do coeficiente elástico
. A equação dada é
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a expressão para a deformação em função de
:
Explicação didática: isto diz que, experimentalmente, para cada aumento de massa
a mola (ou sistema elástico) sofre um alongamento
proporcional por
. Aqui
tem unidade de comprimento (por exemplo metros) e
tem unidade de massa (por exemplo quilogramas), então
tem unidade de comprimento por massa (por exemplo
).
Passo 3
Agora isole
a partir da lei de Hooke. A lei de Hooke é
Isolando
obtemos:
Explicação didática: isso significa que a constante elástica
é a razão entre a variação de força aplicada e a variação de deformação resultante. A unidade de
será força por comprimento (por exemplo
).
Passo 4
Substitua na expressão de
a relação entre
e
válida para massas suspensas verticalmente:
Substituindo em
obtemos:
Explicação didática: aqui estamos trocando a variação de força pela variação do peso causado pela massa adicional
. É a ligação entre massa adicionada e força extra aplicada ao sistema.
Passo 5
Agora substitua a expressão de
obtida no Passo 2,
, dentro da fórmula anterior:
Explicação didática: estamos expressando tudo em termos de
e cancelando para obter uma relação entre
,
e
.
Passo 6
Cancele
no numerador e denominador (assumindo
, o que é natural pois tratamos de variação de massa não nula). O resultado é:
Explicação didática: o cancelamento mostra que a constante elástica
independente do valor específico de
usado nas medidas — desde que se mantenha na região linear onde Hooke vale — e depende apenas da gravidade
e do coeficiente experimental
.
Passo 7
Verificação de unidades e observação prática:
- Unidades:
tem unidade e tem unidade . Assim
que é exatamente a unidade esperada para
. Bom sinal.
- Observação experimental: essa dedução assume regime linear (pequenas deformações) e medições em que
não seja zero. Em prática, mede-se vários pares , calcula-se pela razão ou por ajuste linear e então obtém-se por .