Seja uma espira retangular de lados a=3 \mathrm{~cm} e b=4 \mathrm{~cm}, paralela ao plano x y com seu centro localizado na origem do sistema de coordenadas. Se uma corrente 5 A percorre a espira, e um campo magnético \vec{B}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k} em m T é aplicado em toda a sua região, determine o seu torque.

Passo 1

O que o problema pede: determinar o torque sobre a espira retangular devido ao campo magnético dado.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • lado a = 3\\ \mathrm{cm},
  • lado b = 4\\ \mathrm{cm},
  • a espira é paralela ao plano xy com centro na origem,
  • corrente I = 5\\ \mathrm{A} percorre a espira (o enunciado não informa a direção do sentido da corrente),
  • campo magnético \vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} -4\hat{k} em \mathrm{mT} (militesla).
Pergunta que preciso responder: calcular o torque vetorial \vec{\tau} exercido sobre a espira. Observação importante: como o enunciado não diz o sentido da corrente, o vetor momento magnético \vec{\mu} (e portanto o torque) pode apontar para +\hat{k} ou para -\hat{k}; vou apresentar os dois casos e explicar como escolher no exame se souber o sentido da corrente.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vou usar — explicando como e por quê, passo a passo.
  1. Definição de momento magnético da espira:
\vec{\mu} = I\,\vec{A},
onde I é a corrente e \vec{A} é o vetor área da espira. O módulo da área é A = a\cdot b. O vetor área \vec{A} tem direção normal à superfície da espira e sentido dado pela regra da mão direita: se os dedos seguem o sentido da corrente, o polegar aponta na direção de \vec{\mu}.
  1. Torque sobre a espira (resultado padrão para uma espira de corrente em campo magnético uniforme):
\vec{\tau} = \vec{\mu}\times\vec{B}.
Isto significa que o torque é o produto vetorial entre o momento magnético e o campo; o torque é um vetor perpendicular tanto a \vec{\mu} quanto a \vec{B} e sua magnitude é |\vec{\tau}| = |\vec{\mu}|\,|\vec{B}|\,\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{\mu} e \vec{B}.
  1. Unidades e conversões:
  • comprimentos dados em \mathrm{cm} devo passar para \mathrm{m} (SI): 1\\ \mathrm{cm}=10^{-2}\\ \mathrm{m};
  • campo dado em \mathrm{mT} devo passar para \mathrm{T} (SI): 1\\ \mathrm{mT}=10^{-3}\\ \mathrm{T}.
    Sempre trabalhar em SI para obter torque em \mathrm{N\cdot m}.

Passo 3

Calcular a área da espira e o momento magnético (módulo) com conversões.
  1. Converter a e b para metros:
a = 3\\ \mathrm{cm} = 0,03\\ \mathrm{m},\qquad b = 4\\ \mathrm{cm} = 0,04\\ \mathrm{m}.
  1. Área da espira:
A = a\cdot b = 0{,}03\cdot 0{,}04 = 0{,}0012\\ \mathrm{m}^2.
  1. Módulo do momento magnético:
|\vec{\mu}| = I\,A = 5\cdot 0{,}0012 = 0{,}006\\ \mathrm{A\cdot m}^2.
Observação: a unidade \mathrm{A\cdot m}^2 é equivalente a \mathrm{J/T}.

Passo 4

Converter o campo magnético para tesla e escrever o vetor \vec{B} em SI.
Dado \vec{B} = 2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k} em \mathrm{mT}, converto para \mathrm{T}:
\vec{B} = 2\times 10^{-3}\hat{i} + 3\times 10^{-3}\hat{j} -4\times 10^{-3}\hat{k}\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Determinar a direção de \vec{\mu}. A espira está no plano xy, logo o vetor normal é paralelo a \hat{k} ou a -\hat{k}. Como o enunciado não dá o sentido da corrente, vou calcular o torque para os dois casos:
  • caso A: \vec{\mu} = +0{,}006\,\hat{k} (isto corresponde ao sentido da corrente que, visto de +\hat{k}, seria anticlockwise — dedos seguem a corrente e polegar aponta para +\hat{k});
  • caso B: \vec{\mu} = -0{,}006\,\hat{k} (corrente no sentido oposto).

Passo 6

Calcular o produto vetorial \vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B} (faço passo a passo a regra do produto vetorial).
Usando a identidade para \hat{k}\times vetores:
\hat{k}\times\hat{i}=\hat{j},\qquad \hat{k}\times\hat{j}=-\hat{i},\qquad \hat{k}\times\hat{k}=\vec{0}.
Escrevo \vec{B}=B_x\hat{i}+B_y\hat{j}+B_z\hat{k} com B_x=2\times10^{-3},\\ B_y=3\times10^{-3},\\ B_z=-4\times10^{-3}.
Para \vec{\mu}=+0{,}006\,\hat{k}:
\vec{\tau} = 0{,}006\bigl(\hat{k}\times\vec{B}\bigr) =0{,}006\bigl(B_x(\hat{k}\times\hat{i})+B_y(\hat{k}\times\hat{j})+B_z(\hat{k}\times\hat{k})\bigr).
Substituindo as regras:
\vec{\tau} = 0{,}006\bigl(B_x\hat{j} + B_y(-\hat{i}) + 0\bigr) =0{,}006\bigl(-B_y\hat{i} + B_x\hat{j}\bigr).
Agora substituo B_x e B_y:
\vec{\tau} = 0{,}006\bigl(-3\times10^{-3}\hat{i} + 2\times10^{-3}\hat{j}\bigr).
Multiplicando:
\vec{\tau} = -18\times10^{-6}\hat{i} + 12\times10^{-6}\hat{j}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Escrevendo em notação científica mais usual:
\vec{\tau} = -1{,}8\times10^{-5}\,\hat{i} + 1{,}2\times10^{-5}\,\hat{j}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 7

Torque quando a corrente é no sentido oposto (ou seja \vec{\mu}=-0{,}006\,\hat{k}).
Neste caso o torque simplesmente muda de sinal (produto vetorial linear em \vec{\mu}):
\vec{\tau} = -\bigl(-1{,}8\times10^{-5}\,\hat{i} + 1{,}2\times10^{-5}\,\hat{j}\bigr) = 1{,}8\times10^{-5}\,\hat{i} - 1{,}2\times10^{-5}\,\hat{j}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 8

Magnitude do torque (útil para interpretação): uso o vetor do caso A (módulo é o mesmo em B).
|\vec{\tau}| = \sqrt{\bigl(-1{,}8\times10^{-5}\bigr)^2 + \bigl(1{,}2\times10^{-5}\bigr)^2} = \sqrt{3{,}24\times10^{-10} + 1{,}44\times10^{-10}} = \sqrt{4{,}68\times10^{-10}} \approx 2{,}16\times10^{-5}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Interpretação: o torque fica no plano xy (não tem componente em z) e tende a girar a espira para alinhar \vec{\mu} com \vec{B}.

Resposta

\vec{\tau} = -1{,}8\times10^{-5}\,\hat{i} + 1{,}2\times10^{-5}\,\hat{j}\\ \mathrm{N\cdot m} (se \vec{\mu}=+0{,}006\,\hat{k}, i.e. corrente no sentido que dá \vec{\mu} para +\hat{k}).
\vec{\tau} = 1{,}8\times10^{-5}\,\hat{i} - 1{,}2\times10^{-5}\,\hat{j}\\ \mathrm{N\cdot m} (se \vec{\mu}=-0{,}006\,\hat{k}, i.e. corrente no sentido oposto).

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