2,5 Considerando um sistema físico em regime de oscilação subcrítico, determine x(t) para as condições iniciais \mathrm{x}(0)=\mathrm{x}_{0} e \mathrm{v}(0)=\mathrm{v}_{0}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar x(t) de um sistema físico em regime de oscilação subcrítico (ou seja, amortecimento fraco) com as condições iniciais \mathrm{x}(0)=\mathrm{x}_{0} e \mathrm{v}(0)=\mathrm{v}_{0}. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O sistema está em regime de oscilação subcrítico (amortecimento insuficiente para anular as oscilações).
  • As condições iniciais são x(0)=x_{0} e v(0)=v_{0} (onde v(t)=\dot{x}(t)).
    Não foi dado explicitamente no enunciado os parâmetros do sistema, então adotamos a forma padrão do oscilador linear amortecido com massa, amortecimento e rigidez, que é a forma usual para este tipo de problema.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial do movimento para o oscilador linear amortecido na forma padrão. Seja m a massa, c o coeficiente de amortecimento viscoso e k a constante elástica. A equação é
m\ddot{x} + c\dot{x} + k x = 0.
Aqui \ddot{x} é a segunda derivada temporal de x(t) (aceleração) e \dot{x} é a primeira derivada (velocidade). Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes — forma clássica para sistemas massa-mola-amortecedor.

Passo 3

Para simplificar os parâmetros, definimos a frequência natural não amortecida \omega_{0} e a taxa de amortecimento \gamma por
\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}},\qquad \gamma = \frac{c}{2m}.
Reescrevendo a equação em termos dessas quantidades obtemos
\ddot{x} + 2\gamma \dot{x} + \omega_{0}^{2} x = 0.
A condição de regime subcrítico (amortecimento fraco, também chamada subamortecido) significa
\gamma < \omega_{0}.
Nesse caso as raízes da equação característica serão complexas conjugadas, o que gera solução oscilatória amortecida.

Passo 4

Determinamos as raízes da equação característica associada. Assumindo solução do tipo x(t)=e^{\lambda t}, a equação característica é
\lambda^{2} + 2\gamma \lambda + \omega_{0}^{2} = 0.
As raízes são
\lambda = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^{2} - \omega_{0}^{2}}.
Como \gamma < \omega_{0}, a quantidade dentro da raiz é negativa; definimos a frequência angular amortecida
\omega_{d} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \gamma^{2}}>0.
Então as raízes podem ser escritas como \lambda = -\gamma \pm \mathrm{i}\,\omega_{d}, e a solução geral real do problema é
x(t) = e^{-\gamma t}\bigl(A\cos(\omega_{d} t) + B\sin(\omega_{d} t)\bigr),
onde A e B são constantes reais que serão determinadas pelas condições iniciais. Aqui explicando cada termo: e^{-\gamma t} expressa a decaída exponencial causada pelo amortecimento; \cos(\omega_{d} t) e \sin(\omega_{d} t) representam a oscilação com frequência reduzida \omega_{d}.

Passo 5

Usamos as condições iniciais para encontrar A e B. A condição de posição inicial dá, em t=0,
x(0)=x_{0}=e^{0}\bigl(A\cos 0 + B\sin 0\bigr)=A.
Portanto
A = x_{0}.
Agora precisamos da condição de velocidade inicial. Primeiro calculamos a derivada temporal de x(t). Derivando a solução geral:
\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}\Bigl[e^{-\gamma t}\bigl(A\cos(\omega_{d} t)+B\sin(\omega_{d} t)\bigr)\Bigr].
Aplicamos a regra do produto e as derivadas de seno e cosseno passo a passo para não pular etapas.

Passo 6

Derivando explicitamente (mostrando os termos):
\dot{x}(t) = -\gamma e^{-\gamma t}\bigl(A\cos(\omega_{d} t)+B\sin(\omega_{d} t)\bigr) + e^{-\gamma t}\bigl(-A\omega_{d}\sin(\omega_{d} t) + B\omega_{d}\cos(\omega_{d} t)\bigr).
Agrupando os termos com e^{-\gamma t}:
\dot{x}(t) = e^{-\gamma t}\Bigl[(-\gamma A + B\omega_{d})\cos(\omega_{d} t) + (-\gamma B - A\omega_{d})\sin(\omega_{d} t)\Bigr].
Agora avaliamos em t=0 para aplicar \dot{x}(0)=v_{0}. Como \cos 0 = 1 e \sin 0 = 0, obtemos
v_{0} = \dot{x}(0) = (-\gamma A + B\omega_{d})\cdot 1 + (-\gamma B - A\omega_{d})\cdot 0 = -\gamma A + B\omega_{d}.

Passo 7

Substituímos A=x_{0} na expressão para v_{0} e resolvemos para B:
v_{0} = -\gamma x_{0} + B\omega_{d}\quad\Longrightarrow\quad B = \frac{v_{0} + \gamma x_{0}}{\omega_{d}}.
Assim encontramos as constantes da solução.

Passo 8

Substituindo A e B na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
x(t) = e^{-\gamma t}\left[x_{0}\cos(\omega_{d} t) + \frac{v_{0} + \gamma x_{0}}{\omega_{d}}\sin(\omega_{d} t)\right],
com as definições
\gamma = \frac{c}{2m},\qquad \omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}.
Interpretação rápida: o movimento é uma oscilação com frequência \omega_{d} cuja amplitude decai exponencialmente com taxa \gamma. Se preferir, essa solução pode ser reescrita em forma de amplitude e fase como x(t)=Re^{-\gamma t}\cos(\omega_{d} t-\varphi), onde R e \varphi são determinados a partir de x_{0} e v_{0}.

Resposta

x(t)=e^{-\gamma t}\left[x_{0}\cos(\omega_{d} t) + \frac{v_{0} + \gamma x_{0}}{\omega_{d}}\sin(\omega_{d} t)\right], \qquad \gamma=\frac{c}{2m},\quad \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}},\quad \omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}.

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