2,5 Considerando um sistema físico em regime de oscilação subcrítico, determine
para as condições iniciais
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
de um sistema físico em regime de oscilação subcrítico (ou seja, amortecimento fraco) com as condições iniciais
e
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O sistema está em regime de oscilação subcrítico (amortecimento insuficiente para anular as oscilações).
- As condições iniciais são
e (onde ).
Não foi dado explicitamente no enunciado os parâmetros do sistema, então adotamos a forma padrão do oscilador linear amortecido com massa, amortecimento e rigidez, que é a forma usual para este tipo de problema.
Passo 2
Escrevemos a equação diferencial do movimento para o oscilador linear amortecido na forma padrão. Seja
a massa,
o coeficiente de amortecimento viscoso e
a constante elástica. A equação é
Aqui
é a segunda derivada temporal de
(aceleração) e
é a primeira derivada (velocidade). Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes — forma clássica para sistemas massa-mola-amortecedor.
Passo 3
Para simplificar os parâmetros, definimos a frequência natural não amortecida
e a taxa de amortecimento
por
Reescrevendo a equação em termos dessas quantidades obtemos
A condição de regime subcrítico (amortecimento fraco, também chamada subamortecido) significa
Nesse caso as raízes da equação característica serão complexas conjugadas, o que gera solução oscilatória amortecida.
Passo 4
Determinamos as raízes da equação característica associada. Assumindo solução do tipo
, a equação característica é
As raízes são
Como
, a quantidade dentro da raiz é negativa; definimos a frequência angular amortecida
Então as raízes podem ser escritas como
, e a solução geral real do problema é
onde
e
são constantes reais que serão determinadas pelas condições iniciais. Aqui explicando cada termo:
expressa a decaída exponencial causada pelo amortecimento;
e
representam a oscilação com frequência reduzida
.
Passo 5
Usamos as condições iniciais para encontrar
e
. A condição de posição inicial dá, em
,
Portanto
Agora precisamos da condição de velocidade inicial. Primeiro calculamos a derivada temporal de
. Derivando a solução geral:
Aplicamos a regra do produto e as derivadas de seno e cosseno passo a passo para não pular etapas.
Passo 6
Derivando explicitamente (mostrando os termos):
Agrupando os termos com
:
Agora avaliamos em
para aplicar
. Como
e
, obtemos
Passo 7
Substituímos
na expressão para
e resolvemos para
:
Assim encontramos as constantes da solução.
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
com as definições
Interpretação rápida: o movimento é uma oscilação com frequência
cuja amplitude decai exponencialmente com taxa
. Se preferir, essa solução pode ser reescrita em forma de amplitude e fase como
, onde
e
são determinados a partir de
e
.