Caracterize as seguintes funções como sobrejetora, injetora, bijetora, ou nenhuma delas:
© h: A A, h(x)=x^2+4, A=x in R / x >= 4 injetora;

Passo 1

A função dada é h: A → A com A = [4, ∞) e h(x) = x² + 4. O conteúdo é teoria de injeção e sobrejeção, então precisamos verificar se h é injetora (uma imagem diferente para cada x) e se é sobrejetora (atinge todo valor em A).

Passo 2

Para testar injetividade, usamos a definição: suponha h(x₁) = h(x₂), isto é, x₁² + 4 = x₂² + 4. Daí x₁² = x₂². Como x₁, x₂ ≥ 4, ambos são não negativos, então necessariamente x₁ = x₂. Logo h é estritamente crescente em [4,∞) e, portanto, injetora.

Passo 3

Para testar sobrejetividade, note que a imagem de h é {x² + 4 | x ≥ 4} = [4² + 4, ∞) = [20, ∞). Porém o codomínio A é [4, ∞), então valores y ∈ [4,20) não têm pré-imagem. Logo h não é sobrejetora.

Passo 4

Concluímos que h é injetora, mas não sobrejetora, portanto não é bijetora.

Resposta

injetora

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