Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumk=1^infty (x-5)^kk^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série do tipo sumk=1^infty (x-5)^kk^2. Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e convergência de séries. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para determinar esses tipos de convergências.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a descobrir até onde a série converge de forma absoluta. A ideia é calcular o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
Onde ak é o termo geral da série. Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar ak na nossa série:
ak = (x-5)^kk^2
Agora, calculamos ak+1:
ak+1 = (x-5)^k+1(k+1)^2
Aplicando o Teste da Razão:
L = limk to infty | ak+1ak | = limk to infty | (x-5)^k+1(k+1)^2 cdot k^2(x-5)^k | = limk to infty | (x-5) cdot ( kk+1 )^2 |
Simplificando:
L = |x - 5| cdot limk to infty ( kk+1 )^2 = |x - 5| cdot 1 = |x - 5|
Para que a série convirja, precisamos que L < 1:
|x - 5| < 1

Passo 4

Da inequação |x - 5| < 1, podemos encontrar o raio de convergência R:
R = 1
E o intervalo de convergência é obtido resolvendo a inequação:
-1 < x - 5 < 1
Adicionando 5 em todas as partes:
4 < x < 6
Agora, precisamos verificar o que acontece nos pontos finais x = 4 e x = 6.
Para x = 4:
sumk=1^infty (4-5)^kk^2 = sumk=1^infty (-1)^kk^2
Essa é uma série alternada que converge pelo Teste da Alternância.
Para x = 6:
sumk=1^infty (6-5)^kk^2 = sumk=1^infty 1k^2
Essa é uma série p, onde p = 2 > 1, então ela converge.

Resposta

O raio de convergência da série é R = 1 e o intervalo de convergência é [4,,6].

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