Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série do tipo . Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e convergência de séries. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para determinar esses tipos de convergências.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a descobrir até onde a série converge de forma absoluta. A ideia é calcular o limite:
Onde ak é o termo geral da série. Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste não é conclusivo.
Passo 3
Vamos identificar ak na nossa série:
ak = (x-5)^kk^2
Agora, calculamos ak+1:
ak+1 = (x-5)^k+1(k+1)^2
Aplicando o Teste da Razão:
L = limk to infty | ak+1ak | = limk to infty | (x-5)^k+1(k+1)^2 cdot k^2(x-5)^k | = limk to infty | (x-5) cdot ( kk+1 )^2 |