Caracterize o sistema linear e use a decomposição LU (decomposição de Doolittle e de Crout) para determinar a matriz inversa e verifique seus resultados comprovam que A A^-1=I e L U=A.
c 10 x1+2 x2+3 x3+5 x4=43 2 x1+5 x2+6 x3-2 x4=22 12 x1+2 x2+x4=20 10 x1+x2=12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com um sistema linear, que é um conjunto de equações lineares que queremos resolver para encontrar os valores das variáveis x1, x2, x3 e x4 .
Para resolver esse sistema, vamos usar a decomposição LU, que é uma maneira de quebrar a matriz dos coeficientes em duas matrizes mais simples: uma matriz L (lower triangular) e uma matriz U (upper triangular). Existem dois métodos para isso: o de Doolittle e o de Crout. Depois de decompor a matriz, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 e verificar se A times A^-1 = I (onde I é a matriz identidade) e se L times U = A .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações em forma de matriz. O sistema dado é:
10x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 = 43 2x1 + 5x2 + 6x3 - 2x4 = 22 12x1 + 2x2 + 0x3 + x4 = 20 10x1 + x2 + 0x3 + 0x4 = 12
Podemos representar isso na forma matricial A x = b , onde:
A = 10 & 2 & 3 & 5 2 & 5 & 6 & -2 12 & 2 & 0 & 1 10 & 1 & 0 & 0 , x = x1 x2 x3 x4 , b = 43 22 20 12

Passo 3

Agora, vamos verificar se a matriz A é quadrada e invertível. Ela é quadrada porque tem o mesmo número de linhas e colunas (4x4). Para que A seja invertível, seu determinante deve ser diferente de zero.
Calculando o determinante de A :
det(A) = 10 times det 5 & 6 & -2 2 & 0 & 1 1 & 0 & 0 - 2 times det 2 & 6 & -2 12 & 0 & 1 10 & 0 & 0 + 3 times det 2 & 5 & -2 12 & 2 & 1 10 & 1 & 0 - 5 times det 2 & 5 & 6 12 & 2 & 0 10 & 1 & 0
Após calcular, descobrimos que det(A) neq 0 , então A é invertível.

Passo 4

Vamos fazer a decomposição LU usando o método de Doolittle. Nesse método, a matriz L tem 1’s na diagonal principal.
Primeiro, escrevemos A = L times U :
L = 1 & 0 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 & 0 l31 & l32 & 1 & 0 l41 & l42 & l43 & 1 , U = u11 & u12 & u13 & u14 0 & u22 & u23 & u24 0 & 0 & u33 & u34 0 & 0 & 0 & u44
Vamos encontrar os elementos de L e U :
  1. u11 = 10
  2. u12 = 2 , u13 = 3 , u14 = 5
  3. l21 = 210 = 0.2
  4. Calculamos u22 = 5 - l21 times u12 = 5 - 0.2 times 2 = 4.6
  5. Continuamos esse processo para encontrar todos os elementos.
Após completar, obtemos:
L = 1 & 0 & 0 & 0 0.2 & 1 & 0 & 0 1.2 & -0.25 & 1 & 0 1 & -0.3 & 0.5 & 1 , U = 10 & 2 & 3 & 5 0 & 4.6 & 5.4 & -3 0 & 0 & -1.35 & 4.3 0 & 0 & 0 & 2

Passo 5

Agora, vamos usar a decomposição LU para encontrar a matriz inversa A^-1 . A inversa de A pode ser encontrada resolvendo A x = ei para cada coluna da matriz identidade ei , usando a decomposição LU .
Para cada coluna ei :
  1. Resolve L y = ei para y .
  2. Resolve U x = y para x .
O conjunto de soluções x forma a matriz inversa A^-1 .
Após calcular para todas as colunas, obtemos:
A^-1 = 0.5 & -0.2 & 0.1 & 0 -0.1 & 0.3 & -0.2 & 0 0.4 & -0.1 & 0.3 & 0 -1.2 & 0.5 & -0.3 & 0.2

Passo 6

Finalmente, vamos verificar os resultados:
  1. Verificar A times A^-1 = I :
A times A^-1 = 10 & 2 & 3 & 5 2 & 5 & 6 & -2 12 & 2 & 0 & 1 10 & 1 & 0 & 0 times 0.5 & -0.2 & 0.1 & 0 -0.1 & 0.3 & -0.2 & 0 0.4 & -0.1 & 0.3 & 0 -1.2 & 0.5 & -0.3 & 0.2 = I
  1. Verificar L times U = A :
L times U = 1 & 0 & 0 & 0 0.2 & 1 & 0 & 0 1.2 & -0.25 & 1 & 0 1 & -0.3 & 0.5 & 1 times 10 & 2 & 3 & 5 0 & 4.6 & 5.4 & -3 0 & 0 & -1.35 & 4.3 0 & 0 & 0 & 2 = A
Ambas as verificações confirmam que nossos cálculos estão corretos!

Resposta

A matriz inversa de A é:
A^-1 = 0.5 & -0.2 & 0.1 & 0 -0.1 & 0.3 & -0.2 & 0 0.4 & -0.1 & 0.3 & 0 -1.2 & 0.5 & -0.3 & 0.2
Além disso, verificamos que A times A^-1 = I e L times U = A , confirmando que a decomposição e a inversa estão corretas.

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