Caracterize o sistema linear e use a decomposição LU (decomposição de Doolittle e de Crout) para determinar a matriz inversa e verifique seus resultados comprovam que e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com um sistema linear, que é um conjunto de equações lineares que queremos resolver para encontrar os valores das variáveis x1, x2, x3 e x4 .
Para resolver esse sistema, vamos usar a decomposição LU, que é uma maneira de quebrar a matriz dos coeficientes em duas matrizes mais simples: uma matriz L (lower triangular) e uma matriz U (upper triangular). Existem dois métodos para isso: o de Doolittle e o de Crout. Depois de decompor a matriz, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 e verificar se A times A^-1 = I (onde I é a matriz identidade) e se L times U = A .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações em forma de matriz. O sistema dado é:
Agora, vamos verificar se a matriz A é quadrada e invertível. Ela é quadrada porque tem o mesmo número de linhas e colunas (4x4). Para que A seja invertível, seu determinante deve ser diferente de zero.
Calculando o determinante de A :
det(A) = 10 times det 5 & 6 & -2 2 & 0 & 1 1 & 0 & 0 - 2 times det 2 & 6 & -2 12 & 0 & 1 10 & 0 & 0 + 3 times det 2 & 5 & -2 12 & 2 & 1 10 & 1 & 0 - 5 times det 2 & 5 & 6 12 & 2 & 0 10 & 1 & 0
Após calcular, descobrimos que det(A) neq 0 , então A é invertível.
Passo 4
Vamos fazer a decomposição LU usando o método de Doolittle. Nesse método, a matriz L tem 1’s na diagonal principal.
Agora, vamos usar a decomposição LU para encontrar a matriz inversa A^-1 . A inversa de A pode ser encontrada resolvendo A x = ei para cada coluna da matriz identidade ei , usando a decomposição LU .
Para cada coluna ei :
Resolve L y = ei para y .
Resolve U x = y para x .
O conjunto de soluções x forma a matriz inversa A^-1 .