Questão 04: (2.5 Pontos) Uma reta corta dois círculos concêntricos em quatro pontos. Mostre que os dois segmentos que ficam na região entre os círculos são congruentes.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas circunferências concêntricas de centro O, raio interno r e raio externo R. Uma reta atravessa ambas, cortando a circunferência maior em A e D e a menor em B e C, nesta ordem sobre a reta. Queremos mostrar que o segmento entre A e B (que fica na região entre as duas circunferências) é congruente ao segmento entre C e D. Vamos usar a propriedade geométrica de que a perpendicular do centro a uma corda bisecta essa corda.

Passo 2

Seja l a reta que intersecta as circunferências em A,B,C,D. Desenhe de O a perpendicular a l, encontrando-a no ponto M. Assim, OMperp l.

Passo 3

Na circunferência de raio R, AD é uma corda de extremidades A e D. Como OM é perpendicular a essa corda, a propriedade diz que M é o ponto médio de AD. Logo
MA = MD

Passo 4

De modo análogo, na circunferência de raio r, BC é corda, e OMperp BC implica que M é ponto médio de BC. Logo
MB = MC

Passo 5

Agora, medindo os comprimentos sobre a reta l, como os pontos aparecem na ordem A, B, M, C, D, temos
AB = AM - BM,
CD = MD - MC
Mas de MA=MD e MB=MC segue
AB = AM - BM = MD - MC = CD

Resposta

Os dois segmentos que ficam na região entre as circunferências, AB e CD, são congruentes, isto é, têm igual comprimento.

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