Questão 04: (2.5 Pontos) Uma reta corta dois círculos concêntricos em quatro pontos. Mostre que os dois segmentos que ficam na região entre os círculos são congruentes.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos duas circunferências concêntricas de centro
, raio interno
e raio externo
. Uma reta atravessa ambas, cortando a circunferência maior em
e
e a menor em
e
, nesta ordem sobre a reta. Queremos mostrar que o segmento entre
e
(que fica na região entre as duas circunferências) é congruente ao segmento entre
e
. Vamos usar a propriedade geométrica de que a perpendicular do centro a uma corda bisecta essa corda.
Passo 2
Seja
a reta que intersecta as circunferências em
. Desenhe de
a perpendicular a
, encontrando-a no ponto
. Assim,
.
Passo 3
Na circunferência de raio
,
é uma corda de extremidades
e
. Como
é perpendicular a essa corda, a propriedade diz que
é o ponto médio de
. Logo
Passo 4
De modo análogo, na circunferência de raio
,
é corda, e
implica que
é ponto médio de
. Logo
Passo 5
Agora, medindo os comprimentos sobre a reta
, como os pontos aparecem na ordem
,
,
,
,
, temos
Mas de
e
segue
Resposta
Os dois segmentos que ficam na região entre as circunferências,
e
, são congruentes, isto é, têm igual comprimento.