Questão 02: (2.5 Pontos) Dado um ângulo com medida alpha>0^circ, mostre que sempre é possível construir um outro ângulo cuja medida é menor que alpha.

Passo 1

O enunciado dá um ângulo de vértice O e lados OA e OB cuja medida é alpha>0^circ. O conteúdo é construção elementar em geometria com régua e compasso: mostrando que, a partir de qualquer ângulo positivo, podemos obter outro ângulo menor, por exemplo, bissetando-o.

Passo 2

Para construir um ângulo menor, vamos traçar a bissetriz de ang<= AOB:
  1. Com centro em O e raio arbitrário, faça um arco que corte OA em P e OB em Q.
  2. Com centro em P e com o mesmo raio, desenhe um arco interno ao ângulo.
  3. Com centro em Q e o mesmo raio, desenhe outro arco que intercepte o arco anterior no ponto R.
  4. Una O a R. A reta OR é a bissetriz de ang<= AOB.

Passo 3

Pela propriedade da bissetriz, os dois ângulos formados são congruentes. Logo,
ang<= AOR = ang<= ROB = alpha2

Passo 4

Como alpha>0^circ, temos
0^circ<alpha2<alpha,
portanto ang<= AOR (ou ang<= ROB) é um ângulo estritamente menor que alpha.

Resposta

Basta escolher como novo ângulo um dos dois ângulos da bissetriz, por exemplo ang<= AOR, cuja medida é tfracalpha2<alpha.

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