O carbono-14 é um isótopo radioativo natural do elemento carbono, presente em todos os organismos vivos. Durante a vida do organismo, a proporção entre carbono-14 e carbono-12 mantém-se aproximadamente constante. O químico norte-americano Willard Libbs descobriu nos anos 50 que, a partir da morte do organismo, o carbono- 14 começa a decair em nitrogênio-14 a uma taxa proporcional à quantidade de carbono-14 existente. (O) carbono-14 é, dentre os isótopos estáveis do carbono, aquele que possui a maior meia-vida: 5730 anos.
a) Um osso fossilizado foi encontrado contendo (0,1 %) da sua quantidade original de carbono-14. Determine a idade do fóssil.

Passo 1

O enunciado fala do decaimento radioativo do \mathrm{C}\!-\!14 que obedece à lei
\frac{dN}{dt}=-k\,N,
onde N(t) é a quantidade de \mathrm{C}\!-\!14 no tempo t. Sabe-se que a meia-vida é T_{1/2}=5730 anos e que no fóssil restou 0{,}1\% da quantidade original N_0. Queremos achar t.

Passo 2

Da equação de decaimento segue
N(t)=N_0 e^{-k t}.
A constante k relaciona-se com a meia-vida por
k = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{5730}\,\text{ano}^{-1}.

Passo 3

Como restou 0{,}1\% de N_0, temos
\frac{N(t)}{N_0}=0{,}001 \quad\Longrightarrow\quad e^{-k t}=0{,}001 \quad\Longrightarrow\quad t=-\frac{1}{k}\ln(0{,}001).

Passo 4

Calculando numericamente:
k = \frac{\ln 2}{5730}\approx 1{,}209\times10^{-4}\,\text{ano}^{-1},
t = -\frac{\ln(0{,}001)}{1{,}209\times10^{-4}} =\frac{6{,}9078}{1{,}209\times10^{-4}} \approx5{,}72\times10^{4}\,\text{anos}.

Resposta

A idade do fóssil é aproximadamente 5,7\times10^{4} anos.

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