O carbono-14 é um isótopo radioativo natural do elemento carbono, presente em todos os organismos vivos. Durante a vida do organismo, a proporção entre carbono-14 e carbono-12 mantém-se aproximadamente constante. O químico norte-americano Willard Libbs descobriu nos anos 50 que, a partir da morte do organismo, o carbono- 14 começa a decair em nitrogênio-14 a uma taxa proporcional à quantidade de carbono-14 existente. (O) carbono-14 é, dentre os isótopos estáveis do carbono, aquele que possui a maior meia-vida: 5730 anos.
d) Em 2008, cientistas ingleses constataram que o material orgânico em torno do Stonehenge, o misterioso monumento erigido no sul da Inglaterra, continha 59% de sua quantidade original de carbono-14. Determine uma data provável para sua construção.

Passo 1

O enunciado diz que, após a morte do organismo, a quantidade de carbono-14 decai exponencialmente com meia-vida de 5730 anos. Em 2008 mediu-se que restou 59\% do carbono-14 original. Queremos estimar quando o organismo morreu, isto é, determinar t tal que
\frac{N(t)}{N_0}=0,59.

Passo 2

Usamos a lei do decaimento exponencial
N(t)=N_0\,e^{-\lambda t},
onde \lambda é a constante de decaimento. Como a meia-vida T_{1/2}=5730 anos satisfaz
\frac{N(T_{1/2})}{N_0}=\tfrac12=e^{-\lambda T_{1/2}},
temos
\lambda=\frac{\ln2}{T_{1/2}} =\frac{\ln2}{5730}.

Passo 3

Como \tfrac{N(t)}{N_0}=0,59, igualamos
e^{-\lambda t}=0,59
e tomamos logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 4

-\lambda t=\ln(0,59) \quad\Longrightarrow\quad t=-\frac{1}{\lambda}\,\ln(0,59) =\frac{T_{1/2}}{\ln2}\bigl(-\ln(0,59)\bigr).

Passo 5

Calculando numericamente,
-\ln(0,59)\approx0,5276, \quad \frac{T_{1/2}}{\ln2}\approx\frac{5730}{0,6931}\approx8265{,}1,
então
t\approx8265{,}1\times0,5276\approx4364\text{ anos}.

Passo 6

Esse t é o tempo decorrido entre a morte do organismo e 2008. Logo a data de morte foi aproximadamente
2008 - 4364 \approx -2356,
ou seja, por volta de 2356 anos antes de Cristo.

Resposta

A construção do material orgânico em torno de Stonehenge data de cerca de 2356\,\text{a.C.}.

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