Determine a convolução de x(t)*h(t)
x(t)=e^{-(t-2)} u(t-2)
h(t)=u(t+2)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convolução entre x(t) e h(t). As funções fornecidas são:
x(t)=e^{-(t-2)}\,u(t-2)
h(t)=u(t+2)
Onde u(\cdot) é a função degrau unitário. O objetivo é achar (x*h)(t).

Passo 2

Vamos usar a definição de convolução para sinais contínuos no tempo:
(x*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Aqui \tau é a variável de integração (tempo interno). Essa integral soma a sobreposição de x e uma versão espelhada/atrasada de h.

Passo 3

Identificamos onde cada sinal é não nulo (suporte):
  • Para x(\tau)=e^{-(\tau-2)}\,u(\tau-2), o fator u(\tau-2) é 0 se \tau<2 e 1 se \tau\ge 2. Logo x(\tau) é não nulo somente para \tau\ge 2.
  • Para h(t-\tau)=u(t-\tau+2), o degrau é 1 quando t-\tau+2\ge 0, ou seja quando \tau\le t+2. Para \tau>t+2 temos h(t-\tau)=0.
Portanto, o integrando x(\tau)\,h(t-\tau) só pode ser não nulo quando simultaneamente
\tau\ge 2 \quad\text{e}\quad \tau\le t+2.

Passo 4

A interseção das condições acima dá os limites de integração:
  • Se t+2<2, isto é t<0, então o intervalo [2,\,t+2] está vazio e a convolução vale 0.
  • Se t\ge 0, então o intervalo é \tau\in[2,\,t+2] e devemos integrar nesse intervalo.
Concluímos que a resposta será uma função com suporte em t\ge 0 (ou seja multiplicada por u(t)).

Passo 5

Agora calculamos a integral para t\ge 0:
(x*h)(t)=\int_{2}^{\,t+2} e^{-(\tau-2)}\,d\tau.
Faço a substituição \;s=\tau-2\;, então d\tau=ds e quando \tau=2 temos s=0; quando \tau=t+2 temos s=t. A integral fica
\int_{0}^{\,t} e^{-s}\,ds.
Essa é uma integral elementar:
\int_{0}^{\,t} e^{-s}\,ds = \big[-e^{-s}\big]_{0}^{t} = -e^{-t} -(-e^{0}) = 1 - e^{-t}.
Portanto, para t\ge 0 obtemos (x*h)(t)=1-e^{-t}. Para t<0 o valor é 0.

Passo 6

Escrevendo a solução de forma compacta com o degrau unitário para mostrar o suporte em t\ge 0, a convolução é
(x*h)(t) = \big(1 - e^{-t}\big)\,u(t).

Resposta

(x*h)(t) = \big(1 - e^{-t}\big)\,u(t)

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