Determine a convolução de x(t)*h(t)
x(t)=e^{-(t-2)} u(t-2)
h(t)=u(t+2)
x(t)=e^{-(t-2)} u(t-2)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convolução entre
e
. As funções fornecidas são:
Onde
é a função degrau unitário. O objetivo é achar
.
Passo 2
Vamos usar a definição de convolução para sinais contínuos no tempo:
Aqui
é a variável de integração (tempo interno). Essa integral soma a sobreposição de
e uma versão espelhada/atrasada de
.
Passo 3
Identificamos onde cada sinal é não nulo (suporte):
- Para
, o fator é se e se . Logo é não nulo somente para . - Para
, o degrau é quando , ou seja quando . Para temos .
Portanto, o integrando
só pode ser não nulo quando simultaneamente
Passo 4
A interseção das condições acima dá os limites de integração:
- Se
, isto é , então o intervalo está vazio e a convolução vale . - Se
, então o intervalo é e devemos integrar nesse intervalo.
Concluímos que a resposta será uma função com suporte em
(ou seja multiplicada por
).
Passo 5
Agora calculamos a integral para
:
Faço a substituição
, então
e quando
temos
; quando
temos
. A integral fica
Essa é uma integral elementar:
Portanto, para
obtemos
. Para
o valor é
.
Passo 6
Escrevendo a solução de forma compacta com o degrau unitário para mostrar o suporte em
, a convolução é