Vou assumir que a notação \mathrm{e}^{\wedge}\{-t\} do enunciado corresponde a e^{-t}.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} & x(t)=t\text{ para }t\in[-2,0),\quad x(t)=e^{-t}\text{ para }t\in[0,2),\quad x(t)=0\text{ caso contrário};\\\ & h(t)=1\text{ para }t\in[-1,0),\quad h(t)=-1\text{ para }t\in[0,2),\quad h(t)=0\text{ caso contrário}. \end{aligned}
O objetivo é obter y(t)=(x*h)(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau, expressando y(t) por partes (gráfico/peça a peça).
Passo 2
Primeiro vamos escrever de forma explícita os suportes e fórmulas de x e h (já listadas acima), mostrando como obtivemos:
Para x(t): u(t+2)-u(t)=1 exatamente em -2\le t<0, então primeira parcela dá x(t)=t em [-2,0). A segunda parcela u(t)-u(t-2)=1 em 0\le t<2, então dá x(t)=e^{-t} em [0,2). Fora desses intervalos x(t)=0.
Para h(t): u(t+1)-u(t)=1 em [-1,0) e u(t)-u(t-2)=1 em [0,2). Como h é a diferença entre estes blocos, obtemos h(t)=1 em [-1,0), h(t)=-1 em [0,2), e 0 fora.
Passo 3
Escrevemos a integral de convolução e aproveitamos que h toma apenas os valores 1,-1,0 para simplificar:
Isto é muito prático: somamos x(\tau) onde o trecho deslocado de h é +1 e subtraímos onde é -1.
Passo 4
Determinar o suporte de y(t). Como \operatorname{supp}(x)=[-2,2) e \operatorname{supp}(h)=[-1,2), o suporte da convolução é a soma Minkowski:
\operatorname{supp}(y) = [-2,2)+[-1,2) = [-3,4).
Portanto y(t)=0 para t< -3 e para t\ge 4. Vamos calcular y(t) peça a peça nos intervalos críticos que surgem da combinação dos pontos -2,0,2 e -1,0,2. Os pontos críticos para t são -3,-2,-1,0,1,2,4. Vamos tratar as faixas entre esses pontos.
Para t< -3 e t\ge 4 temos y(t)=0 (fora do suporte). Conferência rápida: as expressões nos intervalos coincidem nas fronteiras (continuidade nos pontos onde deve ocorrer), então as peças estão consistentes.