Determine a convolução gráfica dos sinais
\begin{aligned} & \mathrm{x}(\mathrm{t})=\mathrm{t}(\mathrm{u}(\mathrm{t}+2)-\mathrm{u}(\mathrm{t}))+\mathrm{e}^{\wedge}\{-\mathrm{t}\}(\mathrm{u}(\mathrm{t})-\mathrm{u}(\mathrm{t}-2)) \\\ & \mathrm{h}(\mathrm{t})=\mathrm{u}(\mathrm{t}+1)-\mathrm{u}(\mathrm{t})-(\mathrm{u}(\mathrm{t})-\mathrm{u}(\mathrm{t}-2)) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a convolução gráfica (ou seja, a saída) do sinal y(t)=(x*h)(t), com os sinais dados:
\begin{aligned} & x(t)=t\bigl(u(t+2)-u(t)\bigr)+e^{-t}\bigl(u(t)-u(t-2)\bigr),\\\ & h(t)=u(t+1)-u(t)-\bigl(u(t)-u(t-2)\bigr). \end{aligned}
Vou assumir que a notação \mathrm{e}^{\wedge}\{-t\} do enunciado corresponde a e^{-t}.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} & x(t)=t\text{ para }t\in[-2,0),\quad x(t)=e^{-t}\text{ para }t\in[0,2),\quad x(t)=0\text{ caso contrário};\\\ & h(t)=1\text{ para }t\in[-1,0),\quad h(t)=-1\text{ para }t\in[0,2),\quad h(t)=0\text{ caso contrário}. \end{aligned}áá
O objetivo é obter y(t)=(x*h)(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau, expressando y(t) por partes (gráfico/peça a peça).

Passo 2

Primeiro vamos escrever de forma explícita os suportes e fórmulas de x e h (já listadas acima), mostrando como obtivemos:
  • Para x(t): u(t+2)-u(t)=1 exatamente em -2\le t<0, então primeira parcela dá x(t)=t em [-2,0). A segunda parcela u(t)-u(t-2)=1 em 0\le t<2, então dá x(t)=e^{-t} em [0,2). Fora desses intervalos x(t)=0.
  • Para h(t): u(t+1)-u(t)=1 em [-1,0) e u(t)-u(t-2)=1 em [0,2). Como h é a diferença entre estes blocos, obtemos h(t)=1 em [-1,0), h(t)=-1 em [0,2), e 0 fora.

Passo 3

Escrevemos a integral de convolução e aproveitamos que h toma apenas os valores 1,-1,0 para simplificar:
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Como h(s)=1 se s\in[-1,0) e h(s)=-1 se s\in[0,2), temos:
\begin{aligned} & h(t-\tau)=1\quad\text{se}\quad \tau\in(t,t+1],\\\ & h(t-\tau)=-1\quad\text{se}\quad \tau\in(t-2,t]. \end{aligned}
Logo a integral se reduz a (interseções com o suporte de x implícitas):
y(t)=\int_{(t,t+1]\cap\operatorname{supp}(x)} x(\tau)\,d\tau \;-\; \int_{(t-2,t]\cap\operatorname{supp}(x)} x(\tau)\,d\tau.
Isto é muito prático: somamos x(\tau) onde o trecho deslocado de h é +1 e subtraímos onde é -1.

Passo 4

Determinar o suporte de y(t). Como \operatorname{supp}(x)=[-2,2) e \operatorname{supp}(h)=[-1,2), o suporte da convolução é a soma Minkowski:
\operatorname{supp}(y) = [-2,2)+[-1,2) = [-3,4).
Portanto y(t)=0 para t< -3 e para t\ge 4. Vamos calcular y(t) peça a peça nos intervalos críticos que surgem da combinação dos pontos -2,0,2 e -1,0,2. Os pontos críticos para t são -3,-2,-1,0,1,2,4. Vamos tratar as faixas entre esses pontos.

Passo 5

Aqui t< -2 e t+1< -1, portanto
(t,t+1]\cap[-2,2) = (-2,t+1],\qquad (t-2,t]\cap[-2,2)=\varnothing.
Assim y(t)=\displaystyle\int_{-2}^{\,t+1} x(\tau)\,d\tau. Em toda essa integração \tau\in[-2,t+1]\subset[-2,0), então x(\tau)=\tau. Calculamos:
y(t)=\int_{-2}^{t+1}\tau\,d\tau=\left.\frac{\tau^{2}}{2}\right|_{-2}^{t+1}=\frac{(t+1)^{2}}{2}-2.

Passo 6

Aqui t\in[-2,-1). Temos
(t,t+1]\cap[-2,2)=(t,t+1],\qquad (t-2,t]\cap[-2,2)=(-2,t].
Em ambos os trechos \tau está em [-2,0), logo x(\tau)=\tau. Então
\begin{aligned} y(t)&=\int_{t}^{t+1}\tau\,d\tau-\int_{-2}^{t}\tau\,d\tau\\[4pt] &=\frac{(t+1)^{2}-t^{2}}{2}-\frac{t^{2}-(-2)^{2}}{2}\\[4pt] &=\frac{2t+1}{2}-\frac{t^{2}-4}{2}=\frac{-t^{2}+2t+5}{2}. \end{aligned}]

Passo 7

Agora t\in[-1,0). Temos
(t,t+1]\cap[-2,2)=(t,t+1],\qquad (t-2,t]\cap[-2,2)=(-2,t].
Mas agora o intervalo (t,t+1] atravessa 0: parte dele está em [-2,0) (onde x(\tau)=\tau) e parte em [0,2) (onde x(\tau)=e^{-\tau}). Portanto
\begin{aligned} \int_{t}^{t+1}x(\tau)\,d\tau&=\int_{t}^{0}\tau\,d\tau+\int_{0}^{t+1}e^{-\tau}\,d\tau =-\frac{t^{2}}{2}+1-e^{-(t+1)}. \end{aligned}
\int_{-2}^{t}x(\tau)\,d\tau está inteiramente em [-2,0), então é
\int_{-2}^{t}\tau\,d\tau=\frac{t^{2}-4}{2}.
Subtraindo:
\begin{aligned} y(t)&=\left(-\frac{t^{2}}{2}+1-e^{-(t+1)}\right)-\frac{t^{2}-4}{2}\\[4pt] &=-t^{2}+3-e^{-(t+1)}. \end{aligned}]

Passo 8

Agora t\in[0,1). Calculamos os limites de integração usando as fórmulas gerais:
(t,t+1]\cap[-2,2)=(t,t+1],\qquad (t-2,t]\cap[-2,2]=(t-2,t].
Neste caso t-2\in[-2,-1), portanto em (t-2,t] há parte negativa (onde x(\tau)=\tau) e parte positiva (onde x(\tau)=e^{-\tau}). Fazendo as contas:
\begin{aligned} \int_{t}^{t+1}x(\tau)\,d\tau&=\int_{t}^{t+1}e^{-\tau}\,d\tau=e^{-t}-e^{-(t+1)},\\[4pt] \int_{t-2}^{t}x(\tau)\,d\tau&=\int_{t-2}^{0}\tau\,d\tau+\int_{0}^{t}e^{-\tau}\,d\tau =-\frac{(t-2)^{2}}{2}+1-e^{-t}. \end{aligned}
Assim
\begin{aligned} y(t)&=(e^{-t}-e^{-(t+1)})-\Bigl(-\frac{(t-2)^{2}}{2}+1-e^{-t}\Bigr)\\[4pt] &=\frac{(t-2)^{2}}{2}-1-e^{-(t+1)}+2e^{-t}. \end{aligned}]

Passo 9

Para t\in[1,2) temos
(t,t+1]\cap[-2,2)=(t,2),\qquad (t-2,t]\cap[-2,2]=(t-2,t].
O primeiro integral é inteiro sobre [0,2) (pois t>0), e o segundo atravessa 0. Calculamos:
\int_{t}^{2}x(\tau)\,d\tau=\int_{t}^{2}e^{-\tau}\,d\tau=e^{-t}-e^{-2},
e
\int_{t-2}^{t}x(\tau)\,d\tau=\int_{t-2}^{0}\tau\,d\tau+\int_{0}^{t}e^{-\tau}\,d\tau =-\frac{(t-2)^{2}}{2}+1-e^{-t}.
Portanto
\begin{aligned} y(t)&=(e^{-t}-e^{-2})-\Bigl(-\frac{(t-2)^{2}}{2}+1-e^{-t}\Bigr)\\[4pt] &=\frac{(t-2)^{2}}{2}-1-e^{-2}+2e^{-t}. \end{aligned}]

Passo 10

Para t\in[2,4) o conjunto (t,t+1]\cap[-2,2) é vazio (pois t\ge 2), e
(t-2,t]\cap[-2,2)=(t-2,2).
Aqui t-2\in[0,2), então x(\tau)=e^{-\tau} em todo o intervalo. Assim
y(t)= -\int_{t-2}^{2}e^{-\tau}\,d\tau = -\bigl(e^{-(t-2)}-e^{-2}\bigr)=e^{-2}-e^{-(t-2)}.

Passo 11

Para t< -3 e t\ge 4 temos y(t)=0 (fora do suporte). Conferência rápida: as expressões nos intervalos coincidem nas fronteiras (continuidade nos pontos onde deve ocorrer), então as peças estão consistentes.

Resposta

t< -3:\;0
-3\le t< -2:\;\displaystyle \frac{(t+1)^{2}}{2}-2
-2\le t< -1:\;\displaystyle \frac{-t^{2}+2t+5}{2}
-1\le t<0:\;\displaystyle -t^{2}+3-e^{-(t+1)}
0\le t<1:\;\displaystyle \frac{(t-2)^{2}}{2}-1-e^{-(t+1)}+2e^{-t}
1\le t<2:\;\displaystyle \frac{(t-2)^{2}}{2}-1-e^{-2}+2e^{-t}
2\le t<4:\;\displaystyle e^{-2}-e^{-(t-2)}
t\ge 4:\;0

Exercícios relacionados