Uma carga de
é conectada a uma linha de transmissão sem perdas de
. Encontre:
(a)
(b)
(c) A admitância da carga
(d)
a
da carga
(e) A localização de
e
com relação à carga, se a linha tiver um comprimento de
(f)
no gerador
(a)
(b)
(c) A admitância da carga
(d)
(e) A localização de
(f)
Passo 1
O enunciado dá uma carga e uma linha sem perdas e pede várias grandezas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido (isto peguei do enunciado).
- Dado: impedância da carga
. - Dado: impedância característica da linha
(real, linha sem perdas). - Dado: comprimentos relatos à carga: queremos valores a
da carga e também para uma linha de comprimento total .
O enunciado pede, exatamente:
(a) calcular (coeficiente de reflexão na carga);
(b) calcular (razão de ondas estacionárias, SWR);
(c) calcular a admitância da carga ;
(d) calcular a
da carga (impedância entrada medida a essa distância, no sentido do gerador);
(e) determinar a localização de e
em relação à carga, supondo que a linha tem comprimento
(ou seja: quais distâncias a partir da carga até o primeiro máximo/minimo, dentro do trecho até
);
(f) calcular no gerador (isto é, a impedância de entrada para o gerador quando a linha tem comprimento
).
(a) calcular
(b) calcular
(c) calcular a admitância da carga
(d) calcular
(e) determinar a localização de
(f) calcular
Passo 2
Explicação das fórmulas principais que vou usar (aulas rápidas e intuitivas).
- Coeficiente de reflexão na carga: a fração da onda incidente refletida pela descontinuidade da impedância é
Aqui
é a impedância da carga (complexa) e
é a impedância característica (real para linha sem perdas). A fórmula vem de igualar tensões e correntes numa junção e é a definição padrão.
- SWR (standing wave ratio) em termos de
:
Isto mede o quanto a onda é estacionária;
indica carga casada (nenhuma reflexão).
- Admitância da carga (inverso da impedância):
Admitância é um número complexo com parte real (condutância) e parte imaginária (susceptância).
- Impedância de entrada a uma distância
da carga (linha sem perdas):
onde
é a constante de fase. Esta fórmula transforma a impedância ao longo da linha; para linha sem perdas é exata e prática para cálculo manual quando
tem valor conhecido ou pode ser calculado.
- Outra forma útil (que dá mesma coisa) usa a fase de
:
máximos de tensão a distânciasda carga ocorrem quando
ou seja
e mínimos quando
ou seja
Isto dá posições relativas à carga (distância medida da carga no sentido do gerador).
Passo 3
(a) Calcular
passo a passo.
- Primeiro formulo
:
- Faço a divisão complexa multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
- Calculo o numerador (explicando cada termo):
(1) produto real:,
(2) produtos mistos:e ,
(3) produto imaginário com imaginário:.
Somando reais:. Somando imaginários: . Logo o numerador é
- Denominador:
- Então
Dividindo cada parte:
- Magnitude e ângulo (úteis):
Vou guardar estes valores para os próximos itens.
Passo 4
(b) Calcular
(SWR).
- Usei a fórmula
Substituindo
:
Interpretação: SWR bem maior que
, então há reflexões significativas.
Passo 5
(c) Calcular a admitância da carga
.
- Inversão da impedância:
- Separando partes real e imaginária:
É comum escrever em miliSiemens:
- Magnitude e ângulo:
Passo 6
(d) Calcular
a
da carga.
- Vou usar a fórmula de transformação:
Aqui
e
.
- Avalio
:
- Calculo intermediário
:
- Numerador:
- Denominador:
Faço o produto
. Multiplicando por
obtém-se
. Somando com
:
- Divido numerador por denominador (divisão complexa). Fazendo as contas (multiplicando por conjugado e simplificando) obtém-se
- Finalmente multiplico por
:
(Arredondei aqui para duas casas decimais; procedimento acima mostra o caminho físico e algébrico.)
Passo 7
(e) Localização de
e
em relação à carga, quando a linha tem comprimento
.
- Já calculei
(ou ). Usarei as fórmulas:
Lembre que
é medido a partir da carga na direção do gerador.
- Como
, tem-se
- Calculo numérico:
- Portanto as posições (para
) são:
- Tomando o primeiro máximo que aparece na região positiva (distância para dentro da linha, do lado do gerador) escolhemos
para :
- Conclusão prática: no trecho da linha desde a carga até
(ou seja, distâncias a da carga) há: - o primeiro mínimo a
da carga; - o primeiro máximo a
da carga.
- o primeiro mínimo a
Isto significa: andando da carga em direção ao gerador, você encontra primeiro um mínimo de tensão a
, depois um máximo a
. Esses são os primeiros dentro do comprimento total
.
Passo 8
(f) Calcular
no gerador (isto é, a impedância entrada para o gerador quando a linha tem comprimento total
).
- Agora usamos a fórmula de transformação com
. Avalio com :
-
Então
-
Numerador:
- Denominador:
Faço
. Multiplicando por
dá
. Somando com
:
- Dividindo:
- Multiplico por
:
Isto é a impedância que o gerador “vê” quando a linha inteira tem comprimento
e a carga é a do problema.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(ou
)
(d)
(e)
(f)