Uma carga de 100+j 150 \Omega é conectada a uma linha de transmissão sem perdas de 75 \Omega. Encontre:
(a) \Gamma
(b) s
(c) A admitância da carga Y_{L}
(d) Z_{\text {ent }} a 0,4 \lambda da carga
(e) A localização de V_{\text {máx }}á e V_{\text {mín }}í com relação à carga, se a linha tiver um comprimento de 0,6 \lambda
(f) Z_{\text {ent }} no gerador

Passo 1

O enunciado dá uma carga e uma linha sem perdas e pede várias grandezas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido (isto peguei do enunciado).
  • Dado: impedância da carga \displaystyle Z_{L}=100+j\,150\\ \Omega.
  • Dado: impedância característica da linha \displaystyle Z_{0}=75\\ \Omega (real, linha sem perdas).
  • Dado: comprimentos relatos à carga: queremos valores a \displaystyle 0,4\lambda da carga e também para uma linha de comprimento total \displaystyle 0,6\lambda.
O enunciado pede, exatamente:
(a) calcular \displaystyle \Gamma (coeficiente de reflexão na carga);
(b) calcular \displaystyle s (razão de ondas estacionárias, SWR);
(c) calcular a admitância da carga \displaystyle Y_{L};
(d) calcular \displaystyle Z_{\text{ent}} a \displaystyle 0,4\lambda da carga (impedância entrada medida a essa distância, no sentido do gerador);
(e) determinar a localização de \displaystyle V_{\text{máx}}á e \displaystyle V_{\text{mín}}í em relação à carga, supondo que a linha tem comprimento \displaystyle 0,6\lambda (ou seja: quais distâncias a partir da carga até o primeiro máximo/minimo, dentro do trecho até \displaystyle 0,6\lambda);
(f) calcular \displaystyle Z_{\text{ent}} no gerador (isto é, a impedância de entrada para o gerador quando a linha tem comprimento \displaystyle 0,6\lambda).

Passo 2

Explicação das fórmulas principais que vou usar (aulas rápidas e intuitivas).
  • Coeficiente de reflexão na carga: a fração da onda incidente refletida pela descontinuidade da impedância é
\Gamma=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
Aqui \displaystyle Z_{L} é a impedância da carga (complexa) e \displaystyle Z_{0} é a impedância característica (real para linha sem perdas). A fórmula vem de igualar tensões e correntes numa junção e é a definição padrão.
  • SWR (standing wave ratio) em termos de |\Gamma|:
s=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}.
Isto mede o quanto a onda é estacionária; \displaystyle s=1 indica carga casada (nenhuma reflexão).
  • Admitância da carga (inverso da impedância):
Y_{L}=\frac{1}{Z_{L}}.
Admitância é um número complexo com parte real (condutância) e parte imaginária (susceptância).
  • Impedância de entrada a uma distância l da carga (linha sem perdas):
Z_{\text{in}}(l)=Z_{0}\,\frac{Z_{L}+j Z_{0}\tan(\beta l)}{Z_{0}+j Z_{L}\tan(\beta l)},
onde \displaystyle \beta=\frac{2\pi}{\lambda} é a constante de fase. Esta fórmula transforma a impedância ao longo da linha; para linha sem perdas é exata e prática para cálculo manual quando \tan(\beta l) tem valor conhecido ou pode ser calculado.
  • Outra forma útil (que dá mesma coisa) usa a fase de \Gamma:
    máximos de tensão a distâncias z da carga ocorrem quando
\arg(\Gamma)+2\beta z = 0 \\ (\bmod\\\ 2\pi),
ou seja
z_{\max} = -\frac{\arg(\Gamma)}{2\beta} + n\frac{\lambda}{2},\quad n\in\mathbb{Z},
e mínimos quando
\arg(\Gamma)+2\beta z = \pi \\ (\bmod\\\ 2\pi),
ou seja
z_{\min} = \frac{\pi-\arg(\Gamma)}{2\beta} + n\frac{\lambda}{2}.
Isto dá posições relativas à carga (distância medida da carga no sentido do gerador).

Passo 3

(a) Calcular \displaystyle \Gamma passo a passo.
  • Primeiro formulo \Gamma:
\Gamma=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}=\frac{(100+j\,150)-75}{(100+j\,150)+75}=\frac{25+j\,150}{175+j\,150}.
  • Faço a divisão complexa multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
\Gamma=\frac{(25+j\,150)(175-j\,150)}{175^{2}+150^{2}}.
  • Calculo o numerador (explicando cada termo):
    (1) produto real: 25\cdot175=4375,
    (2) produtos mistos: 25\cdot(-j150)=-j3750 e j150\cdot175=j26250,
    (3) produto imaginário com imaginário: j150\cdot(-j150) = -j^{2}150^{2}=+22500.
    Somando reais: 4375+22500=26875. Somando imaginários: -3750+26250=22500. Logo o numerador é
26875 + j\,22500.
  • Denominador:
175^{2}+150^{2}=30625+22500=53125.
  • Então
\Gamma=\frac{26875+j\,22500}{53125}.
Dividindo cada parte:
\Gamma \approx 0,505882 + j\,0,423529.
  • Magnitude e ângulo (úteis):
|\Gamma|=\sqrt{0,505882^{2}+0,423529^{2}}\approx 0,6598,
\arg(\Gamma)=\arctan\!\left(\frac{0,423529}{0,505882}\right)\approx 0,695\\ \text{rad}\approx 39,8^\circ.
Vou guardar estes valores para os próximos itens.

Passo 4

(b) Calcular \displaystyle s (SWR).
  • Usei a fórmula
s=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}.
Substituindo |\Gamma|\approx 0,6598:
s=\frac{1+0,6598}{1-0,6598}=\frac{1,6598}{0,3402}\approx 4,88.
Interpretação: SWR bem maior que 1, então há reflexões significativas.

Passo 5

(c) Calcular a admitância da carga \displaystyle Y_{L}=1/Z_{L}.
  • Inversão da impedância:
Y_{L}=\frac{1}{100+j\,150}=\frac{100-j\,150}{100^{2}+150^{2}}=\frac{100-j\,150}{32500}.
  • Separando partes real e imaginária:
Y_{L}\approx 0,0030769 - j\,0,0046154\\ \text{S}.
É comum escrever em miliSiemens:
Y_{L}\approx 3,0769\\ \text{mS} - j\,4,6154\\ \text{mS}.
  • Magnitude e ângulo:
|Y_{L}|=\frac{1}{|Z_{L}|}=\frac{1}{\sqrt{100^{2}+150^{2}}}\approx 0,005547\\ \text{S},
\arg(Y_{L})=-\arg(Z_{L})\approx -56,31^\circ.

Passo 6

(d) Calcular \displaystyle Z_{\text{ent}} a \displaystyle 0,4\lambda da carga.
  • Vou usar a fórmula de transformação:
Z_{\text{in}}(l)=Z_{0}\,\frac{Z_{L}+j Z_{0}\tan(\beta l)}{Z_{0}+j Z_{L}\tan(\beta l)}.
Aqui \displaystyle \beta=\frac{2\pi}{\lambda} e \displaystyle \beta l = 2\pi\cdot 0,4 =0,8\pi\\ \text{rad}.
  • Avalio \tan(\beta l):
\tan(0,8\pi)=\tan(\pi-0,2\pi)=-\tan(0,2\pi)=-\tan(36^\circ)\approx -0,726543.
  • Calculo intermediário jZ_{0}\tan(\beta l):
jZ_{0}\tan(\beta l)=j\cdot75\cdot(-0,726543)=-j\,54,491.
  • Numerador:
Z_{L}+jZ_{0}\tan(\beta l)=(100+j\,150)+(-j\,54,491)=100+j\,95,509.
  • Denominador:
Z_{0}+j Z_{L}\tan(\beta l)=75 + j(100+j150)(-0,726543).
Faço o produto (100+j150)(-0,726543)=-72,6543 - j\,108,98145. Multiplicando por j obtém-se 108,98145 - j\,72,6543. Somando com 75:
\text{denom}=183,98145 - j\,72,6543.
  • Divido numerador por denominador (divisão complexa). Fazendo as contas (multiplicando por conjugado e simplificando) obtém-se
\frac{100+j\,95,509}{183,98145 - j\,72,6543}\approx 0,2929 + j\,0,6349.
  • Finalmente multiplico por Z_{0}=75:
Z_{\text{ent}}(0,4\lambda)=75(0,2929 + j\,0,6349)\approx 21,97 + j\,47,62\\ \Omega.
(Arredondei aqui para duas casas decimais; procedimento acima mostra o caminho físico e algébrico.)

Passo 7

(e) Localização de V_{\text{máx}}á e V_{\text{mín}}í em relação à carga, quando a linha tem comprimento \displaystyle 0,6\lambda.
  • Já calculei \arg(\Gamma)\approx 0,695\\ \text{rad} (ou 39,8^\circ). Usarei as fórmulas:
z_{\max} = -\frac{\arg(\Gamma)}{2\beta} + n\frac{\lambda}{2},\qquad z_{\min} = \frac{\pi-\arg(\Gamma)}{2\beta} + n\frac{\lambda}{2}.
Lembre que z é medido a partir da carga na direção do gerador.
  • Como \beta=\dfrac{2\pi}{\lambda}, tem-se
-\frac{\arg(\Gamma)}{2\beta} = -\frac{\arg(\Gamma)}{4\pi}\,\lambda,\qquad \frac{\pi-\arg(\Gamma)}{2\beta} = \frac{\pi-\arg(\Gamma)}{4\pi}\,\lambda.
  • Calculo numérico:
-\frac{\arg(\Gamma)}{4\pi}\approx -\frac{0,695}{4\pi}\approx -0,05533,
\frac{\pi-\arg(\Gamma)}{4\pi}\approx \frac{3,1416-0,695}{12,566}\approx 0,1946.
  • Portanto as posições (para n=0) são:
z_{\max}^{(0)}\approx -0,05533\,\lambda\quad(\text{isto é um pouco "à esquerda" da carga};\\ \text{para ficar positivo tomar }n=1),éà
z_{\min}^{(0)}\approx 0,1946\,\lambda.
  • Tomando o primeiro máximo que aparece na região positiva (distância para dentro da linha, do lado do gerador) escolhemos n=1 para z_{\max}:
z_{\max}^{(1)} = -0,05533\lambda + \frac{\lambda}{2}=0,44467\lambda.
  • Conclusão prática: no trecho da linha desde a carga até \displaystyle 0,6\lambda (ou seja, distâncias 0 a 0,6\lambda da carga) há:
    • o primeiro mínimo a \displaystyle z_{\min}\approx 0,1946\lambda da carga;
    • o primeiro máximo a \displaystyle z_{\max}\approx 0,4447\lambda da carga.
Isto significa: andando da carga em direção ao gerador, você encontra primeiro um mínimo de tensão a \approx 0,1946\lambda, depois um máximo a \approx 0,4447\lambda. Esses são os primeiros dentro do comprimento total \,0,6\lambda.

Passo 8

(f) Calcular \displaystyle Z_{\text{ent}} no gerador (isto é, a impedância entrada para o gerador quando a linha tem comprimento total \displaystyle 0,6\lambda).
  • Agora usamos a fórmula de transformação com l=0,6\lambda. Avalio \tan(\beta l) com \beta l=2\pi\cdot0,6=1,2\pi:
\tan(1,2\pi)=\tan(\pi+0,2\pi)=\tan(0,2\pi)=\tan(36^\circ)\approx 0,726543.
  • Então jZ_{0}\tan(\beta l)=j\cdot75\cdot0,726543=j\,54,491.
  • Numerador:
Z_{L}+jZ_{0}\tan(\beta l)=(100+j\,150)+j\,54,491=100+j\,204,491.
  • Denominador:
Z_{0}+j Z_{L}\tan(\beta l)=75 + j(100+j150)\,0,726543.
Faço (100+j150)\,0,726543=72,6543 + j\,108,98145. Multiplicando por j -108,98145 + j\,72,6543. Somando com 75:
\text{denom}=-33,98145 + j\,72,6543.
  • Dividindo:
\frac{100+j\,204,491}{-33,98145 + j\,72,6543}\approx 1,781 - j\,2,209.
  • Multiplico por Z_{0}=75:
Z_{\text{ent}}(0,6\lambda)=75(1,781 - j\,2,209)\approx 133,6 - j\,165,7\\ \Omega.
Isto é a impedância que o gerador “vê” quando a linha inteira tem comprimento \displaystyle 0,6\lambda e a carga é a do problema.

Resposta

(a) \displaystyle \Gamma \approx 0,505882 + j\,0,423529 \approx 0,6598\angle39,8^\circ
(b) \displaystyle s \approx 4,88
(c) \displaystyle Y_{L}\approx 0,0030769 - j\,0,0046154\\ \text{S} (ou 3,0769\\ \text{mS} - j\,4,6154\\ \text{mS})
(d) \displaystyle Z_{\text{ent}}(0,4\lambda)\approx 21,97 + j\,47,62\\ \Omega
(e) \displaystyle V_{\min}\\ \text{a}\\ z\approx 0,1946\lambda\\ \text{(da carga)}
\displaystyle V_{\max}\\ \text{a}\\ z\approx 0,4447\lambda\\ \text{(da carga)}
(f) \displaystyle Z_{\text{ent}}(0,6\lambda)\approx 133,6 - j\,165,7\\ \Omega

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