Posicione em uma Carta de Smith as seguintes impedâncias de carga terminando uma LT de 50 \Omega :
Z_{L}=50+j 50 \Omega

Passo 1

O enunciado dá uma linha de transmissão com impedância característica Z_0=50\\ \Omega e uma carga terminal
Z_{L}=50+j\,50\\ \Omega.
O que se pede: posicionar essa carga na Carta de Smith. Para isso precisamos obter a representação normalizada da impedância e/ou o coeficiente de reflexão \Gamma correspondente, porque a Carta de Smith representa exatamente o plano dos coeficientes de reflexão (plano \Gamma). Vou listar os dados relevantes retirados do enunciado:
  • Z_0 = 50\\ \Omega.
  • Z_L = 50 + j\,50\\ \Omega.
  • Pedir: posição na Carta de Smith (ou seja, coordenadas no plano \Gamma ou intersecção das curvas de resistência e reatância normalizadas).

Passo 2

Normalizar a impedância (por que e como): na Carta de Smith trabalha-se com impedâncias normalizadas para que Z_0 vire 1. A impedância normalizada z é definida por
z=\frac{Z_L}{Z_0},
onde Z_L é a impedância da carga e Z_0 a impedância característica. Substituindo os valores:
z=\frac{50+j\,50}{50}=1+j\,1.
Interpretação didática: z=1+j1 significa resistência normalizada r=1 (mesma que a característica) e reatância normalizada x=1 (reatância indutiva positiva). Na Carta de Smith isso é o ponto de interseção da curva r=1 com a curva x=1.

Passo 3

Converter z para o coeficiente de reflexão \Gamma (por que): a posição na Carta de Smith pode ser descrita diretamente pelo coeficiente de reflexão complexo \Gamma. A fórmula que liga z e \Gamma é
\Gamma=\frac{z-1}{z+1}.
Substituindo z=1+j1:
\Gamma=\frac{(1+j1)-1}{(1+j1)+1}=\frac{j1}{2+j1}.
Agora vamos efetuar a divisão de números complexos passo a passo (método: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador). O conjugado de 2+j1 é 2-j1. Então:
\Gamma=\frac{j1}{2+j1}\cdot\frac{2-j1}{2-j1}=\frac{j1(2-j1)}{(2+j1)(2-j1)}.
Calcular numerador e denominador separadamente:
  • Numerador: j1(2-j1)=j2 - j^2\cdot1 = j2 -(-1) = 1 + j2.
  • Denominador: (2+j1)(2-j1)=2^2-(j1)^2=4-(j^2)(1)=4-(-1)=5.
    Portanto
\Gamma=\frac{1+j2}{5}=\frac{1}{5}+j\frac{2}{5}=0{,}2 + j\,0{,}4.

Passo 4

Interpretação e cálculo do módulo e argumento de \Gamma (útil para traçar polarmente na Carta de Smith):
  • Módulo:
|\Gamma|=\sqrt{(0{,}2)^2+(0{,}4)^2}=\sqrt{0{,}04+0{,}16}=\sqrt{0{,}20}=\sqrt{\tfrac{1}{5}} \approx 0{,}4472.
  • Argumento (ângulo) em graus:
\angle\Gamma=\arctan\!\left(\frac{0{,}4}{0{,}2}\right)=\arctan(2)\approx63{,}4349^\circ.
Interpretação didática: no plano \Gamma a posição é um ponto a distância 0{,}4472 do centro (o centro é \Gamma=0, impedance perfeitamente casada) e com ângulo positivo +63{,}43^\circ (ângulo positivo significa imaginação positiva → indutiva → acima do eixo real).

Passo 5

Como posicionar na Carta de Smith na prática (procedimento para a prova):
  • Método direto por coordenadas de \Gamma:
    1. Localize o centro da Carta (que é \Gamma=0).
    2. A partir do centro, meça um raio de comprimento 0{,}447 (aprox. 45% do raio da carta).
    3. A partir do eixo real positivo, meça um ângulo de 63{,}4^\circ sentido anti-horário e marque o ponto. Esse ponto corresponde a \Gamma=0{,}2+j\,0{,}4.
  • Método por curvas de r e x:
    1. Encontre a curva de resistência normalizada r=1 (ela passa pelo centro da Carta).
    2. Encontre a curva de reatância x=+1 (curva para reatância indutiva; fica acima do eixo real).
    3. Marque o ponto onde r=1 intercepta x=1. Esse ponto é o mesmo z=1+j1 e corresponde a \Gamma calculado acima.
      Observação prática: em uma Carta de Smith impressa essas duas formas dão o mesmo local; usar a que for mais fácil para você (às vezes achar a interseção de r e x é mais rápido, às vezes traçar polar é mais direto).

Passo 6

Adicional (útil se a prova pedir a admittance ou se usar a metade de Smith para admitâncias):
Calcule a admitância normalizada y=1/z:
y=\frac{1}{1+j1}=\frac{1-j1}{(1+j1)(1-j1)}=\frac{1-j1}{1+1}=\frac{1-j1}{2}=0{,}5 - j\,0{,}5.
Interpretação: na Carta de Smith alternando para a metade de admitâncias, o ponto corresponde a g=0{,}5 e b=-0{,}5 (condutância positiva e susceptância negativa: comportamento capacitivo em termos de admitância). Isso é útil se a sua Carta de Smith tiver a escala de admitância ou se for necessário adicionar elementos em paralelo.

Resposta

z=\dfrac{Z_L}{Z_0}=1+j1
\Gamma=\dfrac{z-1}{z+1}=0{,}2 + j\,0{,}4
|\Gamma|=\sqrt{0{,}2^2+0{,}4^2}\approx0{,}4472
\angle\Gamma\approx63{,}4349^\circ
y=\dfrac{1}{z}=0{,}5 - j\,0{,}5

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