Um sistema composto por dois recipientes isolados termicamente contém, inicialmente, água em diferentes temperaturas. No recipiente A, há 2 kg de água a 80^{\circ} \mathrm{C}, e no recipiente B, há 3 kg de água a 20^{\circ} \mathrm{C}. O calor específico da água é c =4186 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}). Um cubo de gelo de massa M_{g}=0,5 \mathrm{~kg} a -10^{\circ} \mathrm{C} é adicionado ao recipiente A, e simultaneamente, uma barra de alumínio de massa M_{a l}=1 \mathrm{~kg} a 100^{\circ} \mathrm{C} é adicionada ao recipiente B.
O calor específico do gelo é C_{g}=2100 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}), do alumínio é C_{a l}=900 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}), e o calor latente de fusão do gelo é \mathrm{L}=334000 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}.
Após o equilíbrio térmico em cada recipiente (assumindo que o gelo funde completamente em A e não há vaporização), os conteúdos dos dois recipientes são misturados em um terceiro recipiente isolado.
a) Calcule a temperatura de equilíbrio no recipiente A após adicionar o gelo.
b) Calcule a temperatura de equilíbrio no recipiente B após adicionar a barra de alumínio.
c) Determine a temperatura final de equilíbrio após misturar os conteúdos de A e B no terceiro recipiente.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. A temperatura de equilíbrio no recipiente A depois de adicionar o cubo de gelo de massa M_{g}=0{,}5\\ \mathrm{kg} a -10^\circ\mathrm{C} ao conteúdo de 2\\ \mathrm{kg} de água a 80^\circ\mathrm{C}, assumindo que o gelo funde completamente e não há vaporização.
  2. A temperatura de equilíbrio no recipiente B depois de adicionar a barra de alumínio de massa M_{al}=1\\ \mathrm{kg} a 100^\circ\mathrm{C} ao conteúdo de 3\\ \mathrm{kg} de água a 20^\circ\mathrm{C}.
  3. A temperatura final de equilíbrio quando se misturam os conteúdos de A e B em um terceiro recipiente isolado (ou seja, energia total conservada).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{água: } c = 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\\\ &\text{gelo: } C_g = 2100\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\\\ &\text{calor latente de fusão: } L = 334000\\ \mathrm{J/kg}\\\ &\text{alumínio: } C_{al} = 900\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\\\ &\text{No recipiente A: } m_{wA}=2\\ \mathrm{kg},\\ T_{wA}^{(0)}=80^\circ\mathrm{C}\\\ &\quad\quad\quad\\ \\ \text{gelo: } M_g=0{,}5\\ \mathrm{kg},\\ T_{g}^{(0)}=-10^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{No recipiente B: } m_{wB}=3\\ \mathrm{kg},\\ T_{wB}^{(0)}=20^\circ\mathrm{C}\\\ &\quad\quad\quad\\ \\ \text{alumínio: } M_{al}=1\\ \mathrm{kg},\\ T_{al}^{(0)}=100^\circ\mathrm{C} \end{aligned}áãíí
Observações importantes (do enunciado): gelo funde completamente em A; não há vaporização em A ou B; recipientes são isolados (então só há trocas internas de calor).
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (mini-aula rápida e prática):
  • Calor trocado por um corpo quando sua temperatura muda é dado por \displaystyle Q = m c \Delta T, onde m é a massa, c o calor específico e \Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
  • Calor necessário para mudar de fase (fusão no nosso caso) é \displaystyle Q_{\text{fusão}} = m Lã, onde L é o calor latente (energia para fundir por unidade de massa).
  • Em um sistema isolado, a soma dos calores trocados é zero: o calor perdido por corpos mais quentes = calor ganho por corpos mais frios.
    Vou aplicar essas ideias no caso do recipiente A.

Passo 3

Resolução do item (a) — recipiente A.
Processos que ocorrem quando o gelo a -10^\circ\mathrm{C} é colocado na água a 80^\circ\mathrm{C}:
  1. O gelo aquece de -10^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}: calor Q_1 = M_g C_g (0 - (-10)).
  2. O gelo (a 0^\circ\mathrm{C}) funde: calor Q_2 = M_g L.
  3. A água resultante do gelo (massa M_g) aquece de 0^\circ\mathrm{C} até a temperatura de equilíbrio T_A: calor Q_3 = M_g c (T_A - 0).
  4. A água quente inicial (massa m_{wA}) resfria de 80^\circ\mathrm{C} até T_A: calor Q_4 = m_{wA} c (T_A - 80) (valor negativo se T_A<80).
Pela conservação de energia (somatório dos calores = 0), tomando calores ganhos positivos:
-Q_4 + Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0
ou seja o calor perdido pela água quente = calor ganho pelo gelo+fusão+água resultante. Vou escrever explicitamente:
Cálculos numéricos (cada termo em joules):
\begin{aligned} Q_1 &= M_g C_g (0 - (-10)) = 0{,}5\cdot 2100 \cdot 10 = 10500\\ \mathrm{J},\\[4pt] Q_2 &= M_g L = 0{,}5\cdot 334000 = 167000\\ \mathrm{J},\\[4pt] Q_3 &= M_g c (T_A - 0) = 0{,}5\cdot 4186\cdot T_A = 2093\\ T_A\\ \mathrm{J},\\[4pt] Q_4 &= m_{wA} c (T_A - 80) = 2\cdot 4186\cdot (T_A - 80) = 8372\\ (T_A - 80)\\ \mathrm{J}. \end{aligned}
Equação de balanço (calor perdido pela água = calores ganhos):
-8372\,(T_A - 80) + 10500 + 167000 + 2093\,T_A = 0.
Vou simplificar essa equação passo a passo. Primeiro desenvolver:
-8372 T_A + 8372\cdot 80 + 10500 + 167000 + 2093 T_A = 0.
Calcule 8372\cdot 80:
8372\cdot 80 = 669760.
Agora some os termos constantes 669760 + 10500 + 167000:
669760 + 10500 + 167000 = 847260\\ ?\\ \text{(vou reavaliar com cuidado abaixo).}
Percebi que somei errado — vamos somar com cuidado: 669760 + 10500 = 680260. Então 680260 + 167000 = 847260. Correto.
Combine os termos em T_A: -8372 T_A + 2093 T_A = -6279 T_A. Portanto a equação fica
-6279\,T_A + 847260 = 0.
Isolando T_A:
T_A = \frac{847260}{6279}.
Agora calcule o quociente (faço passo a passo para você poder refazer sem calculadora, aproximando):
T_A \approx 134{,}96\\ ^\circ\mathrm{C} \quad \text{(isto seria absurdo — sinal de erro de contabilidade)}.
Ops, percebi que houve um erro de sinal/arredondamento na junção anterior ao combinar termos; vou refazer a montagem da equação de forma direta e limpa, para evitar confusão.
Reescrevendo a equação inicial mais diretamente:
8372(80 - T_A) = 10500 + 167000 + 2093\,T_A.
Expandindo o lado esquerdo:
669760 - 8372\,T_A = 177500 + 2093\,T_A.
Agora passo os termos em T_A para o lado direito e constantes para o esquerdo:
669760 - 177500 = 8372\,T_A + 2093\,T_A.
Calcule constantes:
669760 - 177500 = 492260.
Some os coeficientes de T_A:
8372 + 2093 = 10465.
Logo:
10465\,T_A = 492260.
Finalmente:
T_A = \frac{492260}{10465} \approx 47{,}08^\circ\mathrm{C}.
Arredondando com duas casas decimais:
T_A \approx 47{,}08^\circ\mathrm{C}.
(Comentário didático rápido: o processo de montar a equação como “calor perdido pela parte quente = soma dos calores necessários para aquecer, fundir e aquecer o gelo” evita sinais confusos. Sempre confira a soma dos termos constantes e a combinação dos coeficientes de T.)]

Passo 4

Resolução do item (b) — recipiente B.
Processos:
  • A barra de alumínio resfria de 100^\circ\mathrm{C} até a temperatura de equilíbrio T_B: calor perdido pelo alumínio Q_{al} = M_{al} C_{al} (100 - T_B).
  • A água (massa m_{wB}=3\\ \mathrm{kg}) aquece de 20^\circ\mathrm{C} até T_B: calor ganho pela água Q_{w} = m_{wB} c (T_B - 20).
Conservação de energia (alumínio perde calor = água ganha calor):
M_{al} C_{al} (100 - T_B) = m_{wB} c (T_B - 20).
Substituindo números:
1\cdot 900 \cdot (100 - T_B) = 3\cdot 4186 \cdot (T_B - 20).
Calcule os coeficientes:
900(100 - T_B) = 12558 (T_B -20).
Expanda ambos os lados:
90000 - 900 T_B = 12558 T_B - 251160.
Passe os termos em T_B para um lado e constantes para o outro:
90000 + 251160 = 12558 T_B + 900 T_B.
Some:
341160 = 13458\,T_B.
Logo:
T_B = \frac{341160}{13458} \approx 25{,}35^\circ\mathrm{C}.
Com duas casas decimais:
T_B \approx 25{,}35^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Preparação para o item (c) — o que exatamente misturamos e como faremos o balanço.
Quando misturamos os conteúdos de A e B no terceiro recipiente isolado, o enunciado diz “os conteúdos dos dois recipientes são misturados” — isso inclui:
  • Em A: água total após equilíbrio (água inicial 2\\ \mathrm{kg} + água do gelo 0{,}5\\ \mathrm{kg}) com temperatura T_A.
  • Em B: água total 3\\ \mathrm{kg} com temperatura T_B e também a barra de alumínio (massa 1\\ \mathrm{kg}) à mesma temperatura T_B.
Portanto, ao misturar teremos três “corpos” que trocam calor: água de A (massa 2{,}5\\ \mathrm{kg}, temperatura T_A), água de B (massa 3\\ \mathrm{kg}, temperatura T_B) e a barra de alumínio (massa 1\\ \mathrm{kg}, temperatura T_B). O sistema é isolado, então a soma das energias internas iniciais = soma das energias internas finais.
Fórmula direta (conservação de energia):
\sum_i m_i c_i T_i = \left(\sum_i m_i c_i\right) T_{\text{final}}.
Isto leva a:
T_{\text{final}} = \frac{\sum_i m_i c_i T_i}{\sum_i m_i c_i}.

Passo 6

Cálculo numérico do item (c) — valores a usar (peguei T_A e T_B dos passos anteriores):
T_A \approx 47{,}08^\circ\mathrm{C},\qquad T_B \approx 25{,}35^\circ\mathrm{C}.
Massas e calores específicos:
\begin{aligned} &\text{água de A: } m_{wA,\text{final}} = 2{,}5\\ \mathrm{kg},\\ T_A = 47{,}08^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{água de B: } m_{wB} = 3\\ \mathrm{kg},\\ T_B = 25{,}35^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{alumínio: } M_{al}=1\\ \mathrm{kg},\\ C_{al}=900\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\\ T_{al}=25{,}35^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}ááí
Aplicando a fórmula:
T_{\text{final}} = \frac{c\,(2{,}5\,T_A + 3\,T_B) + C_{al}\,(1\cdot T_B)}{c\,(2{,}5+3) + C_{al}\cdot 1}.
Substituindo números:
T_{\text{final}} = \frac{4186\,(2{,}5\cdot 47{,}08 + 3\cdot 25{,}35) + 900\cdot 25{,}35}{4186\cdot 5{,}5 + 900}.
Agora calculo passo a passo os termos internos (faço com aproximações controladas para que você possa refazer):
2{,}5\cdot 47{,}08 = 117{,}70\quad(\text{aprox. }117{,}70),
3\cdot 25{,}35 = 76{,}05.
Soma dentro do parêntese:
117{,}70 + 76{,}05 = 193{,}75\\ (\text{aprox.}).
Multiplicando por 4186:
4186\cdot 193{,}75 \approx 811043{,}75\\ \mathrm{J/^\circ C}.
Termo do alumínio:
900\cdot 25{,}35 = 22815\\ \mathrm{J/^\circ C}\\ (\text{aprox. }22815).
Numerador total:
811043{,}75 + 22815 \approx 833858{,}75.
Denominador:
4186\cdot 5{,}5 = 4186\cdot 5 + 4186\cdot 0{,}5 = 20930 + 2093 = 23023,
23023 + 900 = 23923.
Finalmente:
T_{\text{final}} \approx \frac{833858{,}75}{23923} \approx 34{,}86^\circ\mathrm{C}.
Assim, a temperatura final de equilíbrio ao misturar tudo é cerca de 34{,}86^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_A \approx 47{,}08^\circ\mathrm{C}\n
T_B \approx 25{,}35^\circ\mathrm{C}\n
T_{\text{final}} \approx 34{,}86^\circ\mathrm{C}

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