Um sistema composto por dois recipientes isolados termicamente contém, inicialmente, água em diferentes temperaturas. No recipiente
, há 2 kg de água a
, e no recipiente
, há 3 kg de água a
. O calor específico da água é c
. Um cubo de gelo de massa
a
é adicionado ao recipiente A, e simultaneamente, uma barra de alumínio de massa
a
é adicionada ao recipiente B.
O calor específico do gelo é
, do alumínio é
, e o calor latente de fusão do gelo é
.
Após o equilíbrio térmico em cada recipiente (assumindo que o gelo funde completamente em A e não há vaporização), os conteúdos dos dois recipientes são misturados em um terceiro recipiente isolado.
a) Calcule a temperatura de equilíbrio no recipiente
após adicionar o gelo.
b) Calcule a temperatura de equilíbrio no recipiente
após adicionar a barra de alumínio.
c) Determine a temperatura final de equilíbrio após misturar os conteúdos de A e B no terceiro recipiente.
O calor específico do gelo é
Após o equilíbrio térmico em cada recipiente (assumindo que o gelo funde completamente em A e não há vaporização), os conteúdos dos dois recipientes são misturados em um terceiro recipiente isolado.
a) Calcule a temperatura de equilíbrio no recipiente
b) Calcule a temperatura de equilíbrio no recipiente
c) Determine a temperatura final de equilíbrio após misturar os conteúdos de A e B no terceiro recipiente.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- A temperatura de equilíbrio no recipiente A depois de adicionar o cubo de gelo de massa
a ao conteúdo de de água a , assumindo que o gelo funde completamente e não há vaporização. - A temperatura de equilíbrio no recipiente B depois de adicionar a barra de alumínio de massa
a ao conteúdo de de água a . - A temperatura final de equilíbrio quando se misturam os conteúdos de A e B em um terceiro recipiente isolado (ou seja, energia total conservada).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Observações importantes (do enunciado): gelo funde completamente em A; não há vaporização em A ou B; recipientes são isolados (então só há trocas internas de calor).
A resolução começa no Passo 2.
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (mini-aula rápida e prática):
- Calor trocado por um corpo quando sua temperatura muda é dado por
, onde é a massa, o calor específico e . - Calor necessário para mudar de fase (fusão no nosso caso) é
, onde é o calor latente (energia para fundir por unidade de massa). - Em um sistema isolado, a soma dos calores trocados é zero: o calor perdido por corpos mais quentes = calor ganho por corpos mais frios.
Vou aplicar essas ideias no caso do recipiente A.
Passo 3
Resolução do item (a) — recipiente A.
Processos que ocorrem quando o gelo a
é colocado na água a
:
- O gelo aquece de
até : calor . - O gelo (a
) funde: calor . - A água resultante do gelo (massa
) aquece de até a temperatura de equilíbrio : calor . - A água quente inicial (massa
) resfria de até : calor (valor negativo se ).
Pela conservação de energia (somatório dos calores = 0), tomando calores ganhos positivos:
ou seja o calor perdido pela água quente = calor ganho pelo gelo+fusão+água resultante. Vou escrever explicitamente:
Cálculos numéricos (cada termo em joules):
Equação de balanço (calor perdido pela água = calores ganhos):
Vou simplificar essa equação passo a passo. Primeiro desenvolver:
Calcule
:
Agora some os termos constantes
:
Percebi que somei errado — vamos somar com cuidado:
. Então
. Correto.
Combine os termos em
:
. Portanto a equação fica
Isolando
:
Agora calcule o quociente (faço passo a passo para você poder refazer sem calculadora, aproximando):
Ops, percebi que houve um erro de sinal/arredondamento na junção anterior ao combinar termos; vou refazer a montagem da equação de forma direta e limpa, para evitar confusão.
Reescrevendo a equação inicial mais diretamente:
Expandindo o lado esquerdo:
Agora passo os termos em
para o lado direito e constantes para o esquerdo:
Calcule constantes:
Some os coeficientes de
:
Logo:
Finalmente:
Arredondando com duas casas decimais:
(Comentário didático rápido: o processo de montar a equação como “calor perdido pela parte quente = soma dos calores necessários para aquecer, fundir e aquecer o gelo” evita sinais confusos. Sempre confira a soma dos termos constantes e a combinação dos coeficientes de
.)]
Passo 4
Resolução do item (b) — recipiente B.
Processos:
- A barra de alumínio resfria de
até a temperatura de equilíbrio : calor perdido pelo alumínio . - A água (massa
) aquece de até : calor ganho pela água .
Conservação de energia (alumínio perde calor = água ganha calor):
Substituindo números:
Calcule os coeficientes:
Expanda ambos os lados:
Passe os termos em
para um lado e constantes para o outro:
Some:
Logo:
Com duas casas decimais:
Passo 5
Preparação para o item (c) — o que exatamente misturamos e como faremos o balanço.
Quando misturamos os conteúdos de A e B no terceiro recipiente isolado, o enunciado diz “os conteúdos dos dois recipientes são misturados” — isso inclui:
- Em A: água total após equilíbrio (água inicial
+ água do gelo ) com temperatura . - Em B: água total
com temperatura e também a barra de alumínio (massa ) à mesma temperatura .
Portanto, ao misturar teremos três “corpos” que trocam calor: água de A (massa
, temperatura
), água de B (massa
, temperatura
) e a barra de alumínio (massa
, temperatura
). O sistema é isolado, então a soma das energias internas iniciais = soma das energias internas finais.
Fórmula direta (conservação de energia):
Isto leva a:
Passo 6
Cálculo numérico do item (c) — valores a usar (peguei
e
dos passos anteriores):
Massas e calores específicos:
Aplicando a fórmula:
Substituindo números:
Agora calculo passo a passo os termos internos (faço com aproximações controladas para que você possa refazer):
Soma dentro do parêntese:
Multiplicando por
:
Termo do alumínio:
Numerador total:
Denominador:
Finalmente:
Assim, a temperatura final de equilíbrio ao misturar tudo é cerca de
.