Uma carga de -300 e está distribuída uniformemente em uma das superfícies de um disco circular de 2,00 \mathrm{~cm} de raio. Qual é a densidade superficial de cargas da superfície?

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos:
  • Pede a densidade superficial de carga da superfície do disco (isto é, a carga por unidade de área da face onde a carga está distribuída).
  • Dados fornecidos:
    • Carga total: -300\,e (ou seja, -300 vezes a carga elementar).
    • Raio do disco: 2{,}00\\ \text{cm}.

Passo 2

Converter as quantidades para unidades SI (metros e coulombs), porque a densidade superficial normalmente é dada em \text{C}/\text{m}^2.
\text{Raio: } r = 2{,}00\\ \text{cm} = 0{,}0200\\ \text{m}.
A carga elementar tem valor aproximado
e = 1{,}602\times 10^{-19}\\ \text{C}.
Portanto a carga total é
Q = -300 \times e = -300 \times 1{,}602\times 10^{-19}\\ \text{C} = -4{,}806\times 10^{-17}\\ \text{C}.

Passo 3

Escrever a fórmula que liga densidade superficial \sigma, carga total Q e área A:
\sigma = \frac{Q}{A}.
Para um disco de raio r a área da face é
A = \pi r^{2}.
Calcular r^{2}:
r^{2} = (0{,}0200\\ \text{m})^{2} = 4{,}00\times 10^{-4}\\ \text{m}^{2}.
Logo a área vale
A = \pi \times 4{,}00\times 10^{-4}\\ \text{m}^{2} = 1{,}25664\times 10^{-3}\\ \text{m}^{2}\quad(\text{usar }\pi\approx 3{,}14159).

Passo 4

Calcular a densidade superficial usando os valores obtidos. Primeiro trate a ordem de grandeza:
\frac{10^{-17}}{10^{-3}}=10^{-14},
então esperamos um resultado da ordem de 10^{-14}\\ \text{C}/\text{m}^{2}.
Agora a divisão numérica:
\sigma = \frac{-4{,}806\times 10^{-17}}{1{,}25664\times 10^{-3}} = -\frac{4{,}806}{1{,}25664}\times 10^{-14}.
Calcule a razão numérica:
\frac{4{,}806}{1{,}25664}\approx 3{,}827.
Portanto
\sigma \approx -3{,}827\times 10^{-14}\\ \text{C}/\text{m}^{2}.

Passo 5

Interpretação e arredondamento: o sinal negativo indica que a superfície tem carga negativa (há excesso de cargas negativas). Considerando as algarismos significativos dos dados (o raio foi dado com três algarismos significativos), é adequado dar a resposta com três algarismos significativos:
\sigma \approx -3{,}83\times 10^{-14}\\ \text{C}/\text{m}^{2}.

Resposta

-3{,}83\times 10^{-14}\\ \text{C}/\text{m}^{2}

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