Duas partículas são mantidas fixas sobre o eixo x : a partícula 1 , de carga
, no ponto
, e a partícula 2 , de carga
, no ponto
. Em que ponto do eixo
o campo elétrico total é nulo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (converti centímetros para metros porque as fórmulas ficam mais naturais em SI):
- Carga da partícula 1:
localizada em . - Carga da partícula 2:
localizada em .
O que se pede: - Determinar o ponto
ao longo do eixo onde o campo elétrico total gerado por essas duas cargas é nulo, isto é, onde .
Passo 2
Lembrete da fórmula que vamos usar (Lei de Coulomb para campo elétrico de carga pontual):
onde:
-
é o módulo do campo elétrico produzido por uma carga pontual a uma distância ; -
é a constante eletrostática ; - o sinal/direção do campo depende do sinal da carga: campo aponta para fora (longe) de uma carga positiva e para dentro (para a carga) de uma carga negativa.
Na reta
trabalhamos com componentes escalares (elegemos direção positiva para a direita). Para duas cargas, queremos o ponto onde os campos escalares se somam a zero.
Passo 3
Análise qualitativa das regiões possíveis ao longo do eixo
:
- Região A:
(à esquerda de ambas as cargas). - Região B:
(entre as cargas). - Região C:
(à direita de ambas).
Determinar a direção dos campos em cada região:
- Para
entre as cargas (Região B): gera campo para a direita (afastando-se de ) e atrai, isto é, na região à esquerda de o campo devido a também aponta para a direita. Assim, em B os dois campos têm a mesma direção (direita) e não podem se cancelar. Portanto descartamos Região B. - Em Região A (à esquerda),
(de ) aponta para a esquerda e (de ) aponta para a direita — direções opostas, então é possível haver cancelamento. - Em Região C (à direita),
aponta para a direita e aponta para a esquerda — também direções opostas, logo pode haver cancelamento. Devemos testar A e C por meio de contas.
Passo 4
Resolver analiticamente para a Região A (
). Nesse caso as distâncias (positivas) são:
Igualando os módulos dos campos (já que as direções são opostas) temos:
O
cancela e
, então
Multiplicando:
Tomando raiz quadrada (e escolhendo o sinal consistente com
, ou seja,
e
):
Resolver para
:
Substituindo
e
:
Ou seja
(ou
), que está à esquerda de ambas as cargas, então é compatível com a hipótese de Região A.
Passo 5
Verificação rápida da Região C (apenas para confirmar que não há outra solução válida):
Na Região C ( ) as distâncias são
,
. Igualando módulos:
Na Região C (
Seguindo os passos análogos obtém-se outras relações que levam a
, porém esse valor está entre
e
, ou seja, não pertence à Região C; além disso entre as cargas já vimos que os campos têm a mesma direção, então não é válida. Portanto a única solução física é a encontrada em Região A.
Passo 6
Checagem numérica do ponto
:
- Distância até
: . - Distância até
: .
Módulos dos campos proporcionais a:
iguais em módulo; como as direções são opostas, o campo resultante é zero. Tudo consistente.