Duas partículas são mantidas fixas sobre o eixo x : a partícula 1 , de carga \mathrm{q}_{1}=2,1.10^{-8} \mathrm{C}, no ponto \mathrm{x}=20 \mathrm{~cm}, e a partícula 2 , de carga q_{2}=-4 q_{1}, no ponto x=70 \mathrm{~cm}. Em que ponto do eixo x o campo elétrico total é nulo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (converti centímetros para metros porque as fórmulas ficam mais naturais em SI):
  • Carga da partícula 1: q_{1}=2,1\times10^{-8}\\ \mathrm{C} localizada em x_{1}=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}.
  • Carga da partícula 2: q_{2}=-4q_{1}=-8,4\times10^{-8}\\ \mathrm{C} localizada em x_{2}=70\\ \mathrm{cm}=0,70\\ \mathrm{m}.
    O que se pede:
  • Determinar o ponto x ao longo do eixo x onde o campo elétrico total gerado por essas duas cargas é nulo, isto é, onde \vec{E}_{\text{total}}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}=0.

Passo 2

Lembrete da fórmula que vamos usar (Lei de Coulomb para campo elétrico de carga pontual):
E = k\,\frac{q}{r^{2}},
onde:
  • E é o módulo do campo elétrico produzido por uma carga pontual q a uma distância r;
  • k é a constante eletrostática k\approx8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}};
  • o sinal/direção do campo depende do sinal da carga: campo aponta para fora (longe) de uma carga positiva e para dentro (para a carga) de uma carga negativa.
Na reta x trabalhamos com componentes escalares (elegemos direção positiva para a direita). Para duas cargas, queremos o ponto onde os campos escalares se somam a zero.

Passo 3

Análise qualitativa das regiões possíveis ao longo do eixo x:
  • Região A: x<x_{1}=0,20\\ \mathrm{m} (à esquerda de ambas as cargas).
  • Região B: x_{1}<x<x_{2} (entre as cargas).
  • Região C: x>x_{2}=0,70\\ \mathrm{m} (à direita de ambas).
Determinar a direção dos campos em cada região:
  • Para x entre as cargas (Região B): q_{1}>0 gera campo para a direita (afastando-se de q_{1}) e q_{2}<0 atrai, isto é, na região à esquerda de q_{2} o campo devido a q_{2} também aponta para a direita. Assim, em B os dois campos têm a mesma direção (direita) e não podem se cancelar. Portanto descartamos Região B.
  • Em Região A (à esquerda), E_{1} (de q_{1}>0) aponta para a esquerda e E_{2} (de q_{2}<0) aponta para a direita — direções opostas, então é possível haver cancelamento.
  • Em Região C (à direita), E_{1} aponta para a direita e E_{2} aponta para a esquerda — também direções opostas, logo pode haver cancelamento. Devemos testar A e C por meio de contas.

Passo 4

Resolver analiticamente para a Região A ( x<x_{1}). Nesse caso as distâncias (positivas) são:
d_{1}=x_{1}-x,\qquad d_{2}=x_{2}-x.
Igualando os módulos dos campos (já que as direções são opostas) temos:
k\frac{|q_{1}|}{(x_{1}-x)^{2}} \;=\; k\frac{|q_{2}|}{(x_{2}-x)^{2}}.
O k cancela e |q_{2}|=4|q_{1}|, então
\frac{1}{(x_{1}-x)^{2}}=\frac{4}{(x_{2}-x)^{2}}.
Multiplicando:
(x_{2}-x)^{2}=4(x_{1}-x)^{2}.
Tomando raiz quadrada (e escolhendo o sinal consistente com x<x_{1}<x_{2}, ou seja, x_{2}-x>0 e x_{1}-x>0):
x_{2}-x=2(x_{1}-x).
Resolver para x:
x_{2}-x=2x_{1}-2x \quad\Rightarrow\quad x=2x_{1}-x_{2}.
Substituindo x_{1}=0,20\\ \mathrm{m} e x_{2}=0,70\\ \mathrm{m}:
x=2\cdot0,20-0,70=0,40-0,70=-0,30\\ \mathrm{m}.
Ou seja x=-0,30\\ \mathrm{m} (ou -30\\ \mathrm{cm}), que está à esquerda de ambas as cargas, então é compatível com a hipótese de Região A.

Passo 5

Verificação rápida da Região C (apenas para confirmar que não há outra solução válida):
Na Região C ( x>x_{2}) as distâncias são d_{1}=x-x_{1}, d_{2}=x-x_{2}. Igualando módulos:
\frac{1}{(x-x_{1})^{2}}=\frac{4}{(x-x_{2})^{2}}.
Seguindo os passos análogos obtém-se outras relações que levam a x=(2x_{1}+x_{2})/3=0,366\ldots\\ \mathrm{m}, porém esse valor está entre x_{1} e x_{2}, ou seja, não pertence à Região C; além disso entre as cargas já vimos que os campos têm a mesma direção, então não é válida. Portanto a única solução física é a encontrada em Região A.

Passo 6

Checagem numérica do ponto x=-0,30\\ \mathrm{m}:
  • Distância até q_{1}: d_{1}=0,20-(-0,30)=0,50\\ \mathrm{m}.
  • Distância até q_{2}: d_{2}=0,70-(-0,30)=1,00\\ \mathrm{m}.
    Módulos dos campos proporcionais a q/d^{2}:
\frac{|q_{1}|}{d_{1}^{2}}=\frac{q_{1}}{(0,50)^{2}}=\frac{q_{1}}{0,25}=4q_{1}, \qquad \frac{|q_{2}|}{d_{2}^{2}}=\frac{4q_{1}}{(1,00)^{2}}=4q_{1},
iguais em módulo; como as direções são opostas, o campo resultante é zero. Tudo consistente.

Resposta

x=-30\\ \mathrm{cm}

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