Uma carga de - 300 e está distribuída uniformemente em um arco de circunferência de 4,00 \mathrm{~cm} de raio, que subtende um ângulo de 40^{\circ}. Qual é a densidade linear de cargas do arco?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar pontualmente):
  • Carga total do arco: Q = -300\,e.
  • Raio do arco: R = 4{,}00\\ \mathrm{cm}.
  • Ângulo subtendido pelo arco: \theta = 40^\circ.
    O que se pede: calcular a densidade linear de carga do arco, ou seja \lambda, definida como a carga por unidade de comprimento do arco.

Passo 2

Raciocínio que vou aplicar (sem calcular ainda): para encontrar \lambda preciso do comprimento do arco \ell e da carga total Q em coulombs. A fórmula é
\lambda=\frac{Q}{\ell}.
O comprimento do arco ligado a um ângulo em radianos é \ell=R\theta. Então preciso:
  1. Converter R para metros e \theta para radianos.
  2. Calcular \ell=R\theta.
  3. Converter Q=-300\,e para coulombs usando o valor da carga elementar e.
  4. Dividir Q por \ell para obter \lambda.

Passo 3

Converter unidades (explicando por que):
  • Metros: 1\\ \mathrm{cm}=10^{-2}\\ \mathrm{m}. Assim
R=4{,}00\\ \mathrm{cm}=4{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=0{,}0400\\ \mathrm{m}.
  • Radianos: para converter graus em radianos usa-se 1^\circ=\dfrac{\pi}{180}\\ \mathrm{rad}. Logo
\theta=40^\circ=40\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{9}\\ \mathrm{rad}\approx0{,}6981317\\ \mathrm{rad}.

Passo 4

Calcular o comprimento do arco \ell. Lembrete: a definição de radiano faz \ell=R\theta, porque um radiano é o ângulo subtendido por um arco cujo comprimento é igual ao raio.
\ell=R\theta=0{,}0400\cdot\frac{2\pi}{9}=\frac{0{,}0800\pi}{9}\\ \mathrm{m}\approx0{,}0279253\\ \mathrm{m}.
(keep in mind: \ell tem unidade de metros porque R está em metros e \theta em radianos que são adimensionais).

Passo 5

Converter a carga total para coulombs. A carga elementar vale aproximadamente e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. Então
Q=-300\,e=-300\times\left(1{,}602176634\times10^{-19}\right)\\ \mathrm{C}=-4{,}806529902\times10^{-17}\\ \mathrm{C}.
O sinal negativo indica que a carga total é negativa (mais elétrons que prótons).

Passo 6

Calcular a densidade linear \lambda. Usando \lambda=Q/\ell:
\lambda=\frac{-4{,}806529902\times10^{-17}}{0{,}02792526803}\\ \mathrm{C/m}\approx-1{,}721993\times10^{-15}\\ \mathrm{C/m}.
Arredondando com base nas cifras significativas dos dados (por ex. R=4{,}00\\ \mathrm{cm} tem 3 algarismos significativos), fica confortável reportar
\lambda\approx-1{,}72\times10^{-15}\\ \mathrm{C/m}.
Interpretação rápida: isso significa que, em média, há -1{,}72\times10^{-15} coulomb por metro ao longo do arco (o sinal negativo indica carga negativa).

Resposta

\lambda = -1{,}72\times10^{-15}\\ \mathrm{C/m}

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