3 impedâncias iguais de 9 L 30^{\circ} \Omega são ligadas em \Delta e 3 impedâncias iguais de 5 L 45^{\circ} em Y são ligadas ao mesmo sistema A B C 3 \varphi, a 3 condutores, 480 V . Determinar a amplitude da corrente de linha e a potência total.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo.
  • Três impedâncias iguais ligadas em \Delta: cada uma \;Z_{\Delta} = 9\angle 30^\circ\\ \Omega.
  • Três impedâncias iguais ligadas em Y: cada uma \;Z_{Y} = 5\angle 45^\circ\\ \Omega.
  • Sistema trifásico equilibrado, 3 condutores (sem neutro), tensão de linha (fase a fase) \;V_{L} = 480\\ \mathrm{V}.
  • Perguntas:
    1. Determinar a amplitude da corrente de linha (módulo de I_{L}).
    2. Determinar a potência total absorvida pelas cargas (potência ativa P, reativa Q e aparente S).

Passo 2

Relembrando fórmulas essenciais para cargas trifásicas balanceadas (explicação didática curta e intuitiva).
  • Para uma carga balanceada, a potência complexa total do sistema é a soma das potências das três fases: S_{\text{total}} = 3\,S_{\text{fase}}.Onde a potência de uma fase pode ser obtida por S_{\text{fase}} = V_{\text{fase}}\; I_{\text{fase}}^{*}(o asterisco indica conjugado porque trabalhamos com fasores).
  • Substituindo I_{\text{fase}} = V_{\text{fase}}/Z_{\text{fase}}, obtemos uma forma prática: S_{\text{fase}} = \frac{|V_{\text{fase}}|^{2}}{Z_{\text{fase}}^{*}}.Observação: usamos Z^{*} (conjugada) para manter a relação correta entre tensão e corrente na definição de S.
  • Para a ligação em \Delta: a tensão nos ramos da delta é a própria tensão de linha: V_{\text{fase,}\Delta} = V_{L}.
  • Para a ligação em Y: a tensão de cada fase da estrela é V_{\text{fase,}Y} = \frac{V_{L}}{\sqrt{3}}.
  • Depois de obter S_{\text{total}} (complexo), a corrente de linha (módulo) pode ser calculada por: |I_{L}| = \frac{|S_{\text{total}}|}{\sqrt{3}\,V_{L}}.Explicando: na alimentação trifásica equilibrada vale \;S_{\text{total}}=\sqrt{3}\,V_{L}\,I_{L}^{*}, portanto isolamos |I_{L}|.

Passo 3

Calcular a potência trifásica da carga em \Delta.
  • Por fase, usando V_{\text{fase}}=V_{L}=480\\ \mathrm{V} e Z_{\Delta}=9\angle 30^\circ\\ \Omega: S_{\text{fase},\Delta}=\frac{|V_{L}|^{2}}{Z_{\Delta}^{*}}.O conjugado de Z_{\Delta} é Z_{\Delta}^{*}=9\angle -30^\circ.
  • Módulo e argumento: \frac{480^{2}}{9}= \frac{230400}{9}=25600.O ângulo resultante é 0^\circ -(-30^\circ)=+30^\circ. Logo: S_{\text{fase},\Delta}=25600\angle 30^\circ\\ \mathrm{VA}.
  • Potência total da delta (três fases): S_{\Delta}=3\cdot 25600\angle 30^\circ = 76800\angle 30^\circ\\ \mathrm{VA}.
  • Converter para forma retangular (para somar depois com a outra carga): S_{\Delta}=76800(\cos 30^\circ + j\sin 30^\circ).Calculando os valores numéricos: \cos 30^\circ = 0,8660254,\qquad \sin 30^\circ = 0,5,
S_{\Delta}\approx 76800\cdot 0,8660254 + j\,76800\cdot 0,5 \approx 66510,75 + j\,38400\\ \mathrm{VA}.

Passo 4

Calcular a potência trifásica da carga em Y.
  • Para o Y, a tensão por fase é \;V_{\text{fase},Y}=\dfrac{480}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}. Então: |V_{\text{fase},Y}|^{2}=\frac{480^{2}}{3}=\frac{230400}{3}=76800.
  • O conjugado de Z_{Y} é Z_{Y}^{*}=5\angle -45^\circ. Assim por fase: S_{\text{fase},Y}=\frac{76800}{5}\angle (0^\circ -(-45^\circ))=15360\angle 45^\circ\\ \mathrm{VA}.
  • Total para as três fases: S_{Y}=3\cdot 15360\angle 45^\circ = 46080\angle 45^\circ\\ \mathrm{VA}.
  • Converter para retangular: \cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,70710678,
S_{Y}\approx 46080\cdot 0,70710678 + j\,46080\cdot 0,70710678 \approx 32583,48 + j\,32583,48\\ \mathrm{VA}.

Passo 5

Somar as potências das duas conexões para obter a potência total do sistema.
  • Soma em forma retangular: S_{\text{total}} = S_{\Delta} + S_{Y}.Substituindo os valores numéricos: S_{\text{total}}\approx (66510,75+32583,48) + j(38400+32583,48).
S_{\text{total}}\approx 99094,23 + j\,70983,48\\ \mathrm{VA}.
  • Interpretando:
    • Potência ativa (real): P = 99094,23\\ \mathrm{W}.
    • Potência reativa: Q = 70983,48\\ \mathrm{var}.
    • Potência aparente:
    |S_{\text{total}}|=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}\approx \sqrt{99094,23^{2}+70983,48^{2}}\approx 121892,9\\ \mathrm{VA}.

Passo 6

Calcular a amplitude da corrente de linha usando a relação trifásica.
  • Usamos |I_{L}|=\frac{|S_{\text{total}}|}{\sqrt{3}\,V_{L}}.
  • Substituindo números: \sqrt{3}\,V_{L}\approx 1,7320508\cdot 480 \approx 831,383\\ \mathrm{V}.
|I_{L}|\approx \frac{121892,9}{831,383}\approx 146,63\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Resumo numérico (comparações e sentido físico rápido).
  • A corrente de linha é relativamente alta porque tanto a delta quanto a estrela absorvem corrente significativa (impedâncias não muito grandes).
  • A potência ativa total é cerca de 99{,}1\\ \mathrm{kW} e há uma reativa considerável \approx 71{,}0\\ \mathrm{kvar}, resultando numa aparente de \approx 121{,}9\\ \mathrm{kVA}.

Resposta

I_{L}\approx 146{,}63\\ \mathrm{A}
P_{\text{total}}\approx 99094{,}23\\ \mathrm{W},\; Q_{\text{total}}\approx 70983{,}48\\ \mathrm{var},\; |S_{\text{total}}|\approx 121892{,}9\\ \mathrm{VA}

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