Uma carga de 50 kVA , com fator de potência de 0,6 indutivo, está em paralelo com uma carga de 37,5 kVA indutiva. Sendo o fator de potência total de 0,5812 indutivo, determine o fator de potência da carga de 37,5 kVA.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: temos duas cargas ligadas em paralelo.
  • Carga 1: S₁ = 50 kVA, fator de potência cos φ₁ = 0,6 (indutivo).
  • Carga 2: S₂ = 37,5 kVA, fator de potência cos φ₂ = ? (indutivo).
    A combinação total tem cos φ_total = 0,5812 (indutivo).
    Conteúdo: fator de potência, potências ativa §, reativa (Q) e aparente (S), e relações trigonométricas.
    O que a gente precisa:
  1. calcular P₁ e Q₁ da carga 1;
  2. escrever P₂ e Q₂ em função de φ₂;
  3. usar a definição de cos φ_total = P_total / S_total (ou tan φ_total = Q_total/P_total) para achar φ₂;
  4. daí fica fácil achar cos φ₂.

Passo 2

Primeiro transformamos S e cos φ em P e Q.
Para a carga 1:
P₁ = S₁·cos φ₁ = 50 kVA·0,6 = 30 kW
Q₁ = S₁·sin φ₁, e como sin φ₁ = √(1–0,6²)=0,8, então
Q₁ = 50·0,8 = 40 kVAr
Para a carga 2 (φ₂ é o ângulo indutivo):
P₂ = S₂·cos φ₂ = 37,5·cos φ₂
Q₂ = S₂·sin φ₂ = 37,5·sin φ₂

Passo 3

Agora a potência total:
P_total = P₁ + P₂ = 30 + 37,5·cos φ₂
Q_total = Q₁ + Q₂ = 40 + 37,5·sin φ₂
E a gente sabe que
tan φ_total = Q_total / P_total.
Mas tan φ_total = √(1/cos² φ_total – 1). Como cos φ_total = 0,5812,
tan φ_total = √(1/0,5812² – 1).

Passo 4

Vamos calcular esse número:
1/0,5812² ≈ 2,9699 → √(2,9699 – 1) = √1,9699 ≈ 1,4035.
Logo
Q_total = tan φ_total · P_total ⇒
40 + 37,5·sin φ₂ = 1,4035·(30 + 37,5·cos φ₂)

Passo 5

A gente abre essa equação:
40 + 37,5 sin φ₂ = 1,4035·30 + 1,4035·37,5 cos φ₂
40 + 37,5 sin φ₂ = 42,105 + 52,63125 cos φ₂
Isolando tudo num lado:
37,5 sin φ₂ – 52,63125 cos φ₂ = 2,105
Isso é da forma A sin φ – B cos φ = C.
O módulo R = √(37,5² + 52,63125²) ≈ 64,64
e o ângulo δ = arctan(52,63125/37,5) ≈ 54,7°.
Então
64,64 sin(φ₂ – 54,7°) = 2,105
sin(φ₂ – 54,7°) = 2,105 / 64,64 ≈ 0,03256
φ₂ – 54,7° ≈ arcsin(0,03256) ≈ 1,865°
φ₂ ≈ 54,7° + 1,865° = 56,565°

Passo 6

Pronto, o ângulo da carga 2 é φ₂ ≈ 56,565°, então o fator de potência dela é
cos φ₂ = cos(56,565°) ≈ 0,55

Resposta

O fator de potência da carga de 37,5 kVA é aproximadamente 0,55 (indutivo).

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