Uma carga de 50 kVA , com fator de potência de 0,6 indutivo, está em paralelo com uma carga de 37,5 kVA capacitiva. Sendo o fator de potência total de 0,9806 indutivo, determine o fator de potência da carga de 37,5 kVA.
Passo 1
Beleza! Temos duas cargas em paralelo:
• Carga 1: S₁ = 50 kVA, fp₁ = 0,6 (indutivo)
• Carga 2: S₂ = 37,5 kVA, fp₂ = ? (capacitivo)
O fp total é 0,9806 (indutivo).
Conteúdo: triângulo de potências (P, Q, S), fator de potência (cos φ), relação entre P, Q e S, e soma de cargas em paralelo.
• Carga 1: S₁ = 50 kVA, fp₁ = 0,6 (indutivo)
• Carga 2: S₂ = 37,5 kVA, fp₂ = ? (capacitivo)
O fp total é 0,9806 (indutivo).
Conteúdo: triângulo de potências (P, Q, S), fator de potência (cos φ), relação entre P, Q e S, e soma de cargas em paralelo.
Passo 2
Primeiro vamos achar a potência ativa (P₁) e reativa (Q₁) da carga 1:
P₁ = S₁·fp₁ = 50 kVA · 0,6 = 30 kW
Q₁ = S₁·sin φ₁, mas sin φ₁ = √(1–fp₁²) = √(1–0,6²) = 0,8
→ Q₁ = 50 kVA ·0,8 = 40 kVAr (indutivo)
P₁ = S₁·fp₁ = 50 kVA · 0,6 = 30 kW
Q₁ = S₁·sin φ₁, mas sin φ₁ = √(1–fp₁²) = √(1–0,6²) = 0,8
→ Q₁ = 50 kVA ·0,8 = 40 kVAr (indutivo)
Passo 3
Para a carga 2, chamamos fp₂ = cos φ₂ (φ₂ < 0, capacitivo).
Então:
P₂ = S₂·cos φ₂ = 37,5·fp₂
Q₂ = S₂·sin φ₂ = 37,5·(–√(1–fp₂²))
(o sinal “–” porque é capacitiva)
Então:
P₂ = S₂·cos φ₂ = 37,5·fp₂
Q₂ = S₂·sin φ₂ = 37,5·(–√(1–fp₂²))
(o sinal “–” porque é capacitiva)
Passo 4
O fator de potência total fpₜ = 0,9806 é indutivo.
φₜ = arccos(0,9806) ⇒ tan φₜ = √(1–0,9806²) / 0,9806 ≈ 0,1999
Como tan φₜ = Qₜ / Pₜ, temos:
Qₜ = Q₁ + Q₂ = 40 – 37,5·√(1–fp₂²)
Pₜ = P₁ + P₂ = 30 + 37,5·fp₂
Logo:
(40 – 37,5√(1–fp₂²)) / (30 + 37,5 fp₂) = 0,1999
φₜ = arccos(0,9806) ⇒ tan φₜ = √(1–0,9806²) / 0,9806 ≈ 0,1999
Como tan φₜ = Qₜ / Pₜ, temos:
Qₜ = Q₁ + Q₂ = 40 – 37,5·√(1–fp₂²)
Pₜ = P₁ + P₂ = 30 + 37,5·fp₂
Logo:
(40 – 37,5√(1–fp₂²)) / (30 + 37,5 fp₂) = 0,1999
Passo 5
Isolando a raiz:
40 – 37,5√(1–fp₂²) = 0,1999·(30 + 37,5 fp₂)
→ √(1–fp₂²) = [40 – 0,1999·30 – 0,1999·37,5 fp₂] / 37,5
Eleva ao quadrado, organiza em forma ax² + bx + c = 0 e resolve a quadrática.
O resultado fisicamente válido (0 ≤ fp₂ ≤ 1) é:
fp₂ ≈ 0,62
40 – 37,5√(1–fp₂²) = 0,1999·(30 + 37,5 fp₂)
→ √(1–fp₂²) = [40 – 0,1999·30 – 0,1999·37,5 fp₂] / 37,5
Eleva ao quadrado, organiza em forma ax² + bx + c = 0 e resolve a quadrática.
O resultado fisicamente válido (0 ≤ fp₂ ≤ 1) é:
fp₂ ≈ 0,62
Resposta
O fator de potência da carga de 37,5 kVA é aproximadamente 0,62 (capacitivo).