Uma carga de -1,63 \mu \mathrm{C} está posicionada na origem. Determine o campo elétrico no ponto B(1,6,5) em:
Coordenadas cilíndricas;

Passo 1

O enunciado dá uma carga puntiforme de q=-1,63\times10^{-6}\,\mathrm{C} na origem e pede o campo elétrico em B(1,6,5) expresso nas componentes cilíndricas (E_{\rho},E_{\varphi},E_{z}). Vamos usar a lei de Coulomb em forma vetorial e depois projetar nas direções \hat e_{\rho},\hat e_{\varphi},\hat e_{z}.

Passo 2

O vetor posição de B em coordenadas cartesianas é
\vec r = (1,6,5)\,\mathrm{m}.
O seu módulo é
r = \sqrt{1^2 + 6^2 + 5^2} = \sqrt{62}\,\mathrm{m}\approx7{,}874\,\mathrm{m}.

Passo 3

Pela lei de Coulomb,
\vec E(\vec r) = k\,\frac{q\,\vec r}{r^3},
onde k=8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\cdot m^2/C^2}. Calculamos primeiro kq:
k\,q = 8{,}99\times10^{9}\times(-1{,}63\times10^{-6}) \approx -1{,}465\times10^{4}\,\mathrm{N\cdot m^2/C}.
Logo
\vec E = \frac{-1{,}465\times10^{4}}{(\sqrt{62})^3}\,(1,6,5) \approx -30{,}02\,(1,6,5)\,\mathrm{N/C},
isto é
\vec E \approx (-30{,}02,\,-180{,}1,\,-150{,}1)\,\mathrm{N/C}
nas componentes (E_x,E_y,E_z).

Passo 4

Para passar a coordenadas cilíndricas, calculamos primeiro as coordenadas de B:
\rho = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{1^2+6^2} =\sqrt{37}\approx6{,}083\,\mathrm{m},
\varphi = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) =\arctan(6)\approx80{,}54^\circ, \qquad z=5\,\mathrm{m}.
Os cosenos e senos de \varphi são
\cos\varphi = \frac{x}{\rho}=\frac{1}{\sqrt{37}}\approx0{,}1644, \quad \sin\varphi = \frac{y}{\rho}=\frac{6}{\sqrt{37}}\approx0{,}9864.

Passo 5

As projeções nas direções cilíndricas valem
E_{\rho} = E_x\cos\varphi + E_y\sin\varphi \approx (-30{,}02)(0{,}1644)+(-180{,}1)(0{,}9864) \approx -182{,}7\,\mathrm{N/C},
E_{\varphi} = -E_x\sin\varphi + E_y\cos\varphi \approx -(-30{,}02)(0{,}9864)+(-180{,}1)(0{,}1644) \approx 0{,}0\,\mathrm{N/C},
E_{z} = E_z \approx -150{,}1\,\mathrm{N/C}.

Resposta

E_{\rho}\approx -182{,}7\,\mathrm{N/C},\quad E_{\varphi}\approx 0,\quad E_{z}\approx -150{,}1\,\mathrm{N/C}.

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