Uma densidade volumétrica de cargas, em \mathrm{pC} / \mathrm{m}^{3}, é dada por
\rho_{v}=\left\{\begin{array}{c} \frac{-0,1}{\rho^{2}+10^{-4}}, 0<\rho<3 \times 10^{-4} \\\\ 0, \rho>3 \times 10^{-4} \end{array}\right.
Determine a carga total envolvida por um cilindro de raio 3 \times 10^{-4} \mathrm{me} 1 \mathrm{~m} de comprimento.

Passo 1

O enunciado dá uma densidade volumétrica de cargas em coordenadas cilíndricas
\rho_v(\rho)= \begin{cases} \dfrac{-0,1}{\rho^2+10^{-4}}\quad\text{(pC/m\(^3\))},&0<\rho<3\times10^{-4},\\[6pt] 0,&\rho>3\times10^{-4}, \end{cases}
e pede a carga total dentro de um cilindro de raio 3\times10^{-4} m e comprimento 1 m. Vamos usar a integral de volume em cilíndricas
Q=\iiint_V \rho_v\,dV
com dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.]

Passo 2

Escrevendo a integral em coordenadas cilíndricas, com \varphi\in[0,2\pi], z\in[0,1] e \rho\in[0,a] onde a=3\times10^{-4} m, temos
Q=\int_{z=0}^{1}\!\!\int_{\varphi=0}^{2\pi}\!\!\int_{\rho=0}^{a} \frac{-0,1}{\rho^2+10^{-4}}\;\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.
Os integrais em \varphi e z são triviais e dão fator 2\pi\cdot1.

Passo 3

Ficamos com
Q=-0,1\,(2\pi)\int_{0}^{a}\frac{\rho}{\rho^2+10^{-4}}\,d\rho.
Para o integral em \rho usamos
\int\frac{\rho}{\rho^2+A^2}\,d\rho =\frac12\ln\bigl(\rho^2+A^2\bigr),
onde A^2=10^{-4}. Assim
\int_{0}^{a}\frac{\rho}{\rho^2+10^{-4}}\,d\rho =\frac12\ln\!\Bigl(\frac{a^2+10^{-4}}{10^{-4}}\Bigr) =\frac12\ln\!\Bigl(1+\frac{a^2}{10^{-4}}\Bigr).
Com a=3\times10^{-4} obtemos
\frac{a^2}{10^{-4}} =\frac{(3\times10^{-4})^2}{10^{-4}} =\frac{9\times10^{-8}}{10^{-4}}=9\times10^{-4},
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\int_{0}^{a}\frac{\rho}{\rho^2+10^{-4}}\,d\rho =\frac12\ln\bigl(1+9\times10^{-4}\bigr) \approx\frac12\cdot9{,}0\times10^{-4} =4{,}5\times10^{-4}.

Passo 4

Substituindo de volta em Q:
Q=-0,1\,(2\pi)\,\bigl(4{,}5\times10^{-4}\bigr)\quad\text{(pC)},
Q\approx -0{,}2\pi\times4{,}5\times10^{-4} =-0{,}9\pi\times10^{-4} \approx -2{,}83\times10^{-4}\\ \text{pC}.
Em coulombs, como 1 pC =10^{-12} C, isso vale
Q\approx -2{,}83\times10^{-16}\\ \text{C}.

Resposta

A carga total é aproximadamente
Q\approx -2{,}83\times10^{-4}\\ \text{pC} \quad\bigl(\approx -2{,}83\times10^{-16}\,\text{C}\bigr).

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