Uma carga de -1,63 \mu \mathrm{C} está posicionada na origem. Determine o campo elétrico no ponto B(1,6,5) em:
Coordenadas esféricas;

Passo 1

O enunciado coloca uma carga pontual q=-1,63\times10^{-6}\,\mathrm{C} na origem e pede o campo elétrico no ponto B(1,6,5) em coordenadas esféricas. O conteúdo é a lei de Coulomb para uma carga pontual, em que
\vec E(\vec r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\,\hat r,
e precisamos:
  1. converter B(x,y,z) em (r,\theta,\varphi),
  2. aplicar a fórmula e escrever \vec E na base \{\hat r,\hat\theta,\hat\varphi\}.

Passo 2

Calcular as coordenadas esféricas de B.
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{1^2+6^2+5^2}=\sqrt{62}\approx7,874\;\mathrm m.
A longitude azimutal \varphi (ângulo em xy) e a colatitude \theta (ângulo em relação ao eixo z) são
\varphi=\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=\arctan(6)\approx1,4056\;\mathrm{rad},
\theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{r}\bigr)=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{5}{\sqrt{62}}\bigr)\approx0,8836\;\mathrm{rad}.

Passo 3

Aplicar a lei de Coulomb. Como a carga está na origem, o campo é radial e vale
E_r=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2},\quad E_\theta=0,\quad E_\varphi=0.
Numericamente, \displaystyle\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8{,}99\times10^9\;\mathrm{N\,m^2/C^2} e r^2=62, logo
E_r=\frac{8{,}99\times10^9\cdot(-1{,}63\times10^{-6})}{62}\approx-236{,}4\;\mathrm{N/C}.

Passo 4

Escrever o vetor em coordenadas esféricas:
\vec E_B = E_r\,\hat r + E_\theta\,\hat\theta + E_\varphi\,\hat\varphi = (-236{,}4)\,\hat r\;\mathrm{N/C}.

Resposta

\displaystyle \vec E_B=(-236{,}4)\,\hat r\;\mathrm{N/C},
com \displaystyle r=\sqrt{62}, \displaystyle\theta\approx0{,}8836,rad e \displaystyle\varphi\approx1{,}4056,rad.

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