Uma carga R_{L}=75 \Omega conectada à uma linha de microfita \operatorname{com} R_{0}=50 \Omega em f=300 \mathrm{MHz} é vista como uma impedância de 61,24 \Omega à uma distância de 25 \mathrm{~cm}(\lambda / 4).
  • Verdadeiro
  • Falso

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dado: resistência de carga R_{L}=75\\ \Omega.
  • Dado: impedância característica da linha R_{0}=50\\ \Omega.
  • Dado: frequência f=300\\ \mathrm{MHz}.
  • Dado: a carga é vista à distância 25\\ \mathrm{cm}, que o enunciado afirma ser \lambda/4.
  • Pergunta: a afirmação "a carga é vista como uma impedância de 61,24\\ \Omega à distância de 25\\ \mathrm{cm}(\lambda/4)" é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Confirmar o comprimento de onda \lambda na frequência dada (pressupondo propagação em velocidade próxima à da luz no espaço livre):
\lambda=\frac{c}{f},
onde c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e f=300\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}. Logo,
\lambda=\frac{3\times10^{8}}{300\times10^{6}}=1\\ \mathrm{m}.
Logo \lambda/4=0,25\\ \mathrm{m}=25\\ \mathrm{cm}. Portanto a distância dada corresponde de fato a um quarto de onda.

Passo 3

Relembrando a fórmula geral (linha sem perdas) para a impedância de entrada a uma distância l da carga:
Z_{\text{in}}=Z_{0}\,\frac{Z_{L}+jZ_{0}\tan(\beta l)}{Z_{0}+jZ_{L}\tan(\beta l)},
onde Z_{0} é a impedância característica, Z_{L} a impedância da carga, \beta=\dfrac{2\pi}{\lambda} é a constante de fase e l é a distância até a carga. Esta fórmula vem da solução das equações de transmissão em uma linha; ela transforma a impedância da carga ao longo da linha considerando a fase acumulada.

Passo 4

Avaliar a expressão para l=\lambda/4. Então \beta l=\dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{4}=\dfrac{\pi}{2} e
\tan\bigl(\beta l\bigr)=\tan\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\to\infty.
Tomando o limite \tan(\beta l)\to\infty na expressão de Z_{\text{in}}, os termos dominantes são os proporcionais a \tan(\beta l), então
Z_{\text{in}} =Z_{0}\,\frac{jZ_{0}\tan(\beta l)\bigl(1+\dfrac{Z_{L}}{jZ_{0}\tan(\beta l)}\bigr)} {jZ_{L}\tan(\beta l)\bigl(1+\dfrac{Z_{0}}{jZ_{L}\tan(\beta l)}\bigr)} \approx Z_{0}\,\frac{jZ_{0}\tan(\beta l)}{jZ_{L}\tan(\beta l)}= \frac{Z_{0}^{2}}{Z_{L}}.
Portanto, para um quarto de onda a linha inverte a impedância e
Z_{\text{in}}=\frac{Z_{0}^{2}}{Z_{L}}.

Passo 5

Aplicar os valores numéricos: Z_{0}=50\\ \Omega e Z_{L}=75\\ \Omega. Assim
Z_{\text{in}}=\frac{50^{2}}{75}=\frac{2500}{75}=\frac{100}{3}=33,333\ldots\\ \Omega.

Passo 6

Comparação com o valor afirmado no enunciado: o valor calculado é 33,333\ldots\\ \Omega, muito diferente de 61,24\\ \Omega. Portanto a afirmação do enunciado está incorreta.

Resposta

Falso

Exercícios relacionados