A expressão matemática sen [w t+\beta(x-z)] representa uma onda senoidal propagando no plano y z na direção \theta=-45^{0}.
  • Verdadeiro
  • Falso

Passo 1

O enunciado dá a expressão da onda e pede para verificar se ela representa uma onda senoidal que se propaga no plano y z na direção \theta = -45^\circ. Informação fornecida:
  • A função de onda é \sin[\omega t + \beta(x - z)].
As perguntas que temos de responder:
  • Essa expressão corresponde a uma onda que se propaga no plano y z?
  • A direção de propagação é \theta = -45^\circ (no plano indicado)?

Passo 2

Entendendo o que significa “onda plana” e como extrair a direção de propagação a partir da fase. Aula curta e simples:
  • Uma onda plana harmônica pode ser escrita em geral como \sin(\omega t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{r} + \varphi_0), onde:
    • \omega é a pulsação (frequência angular),
    • \mathbf{k} é o vetor de onda (tem direção da propagação e módulo igual ao número de onda),
    • \mathbf{r}=(x,y,z) é a posição no espaço,
    • \varphi_0 é uma fase inicial.
  • A direção de propagação da onda é a direção do vetor \mathbf{k}. Superfícies de fase constante satisfazem \mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t = \text{const}, e elas se deslocam ao longo de \mathbf{k}.
  • Portanto, para identificar a direção de propagação, reescrevemos a fase espacial como -\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} e lemos os componentes de \mathbf{k}.

Passo 3

Reescrevendo a fase da onda dada para identificar \mathbf{k}. A onda dada é
\sin[\omega t + \beta(x - z)].
Colocando no formato \sin(\omega t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}) vemos que
\omega t + \beta x - \beta z = \omega t -\bigl(-\beta x + 0\cdot y + \beta z\bigr).
Logo podemos identificar os componentes do vetor de onda:
k_x = -\beta,\qquad k_y = 0,\qquad k_z = \beta.

Passo 4

Interpretando os componentes de \mathbf{k}:
  • O vetor de onda é \mathbf{k}=(-\beta,\,0,\,\beta).
  • Note que k_y=0, ou seja, não há dependência espacial em y. Portanto a variação espacial ocorre nos eixos x e z, ou seja, a onda se propaga no plano x z, não no plano y z.
  • A direção (não normalizada) é (-1,0,1). Normalizando:
\hat{n}=\frac{\mathbf{k}}{|\mathbf{k}|}=\frac{1}{\sqrt{(-\beta)^2+\beta^2}}\bigl(-1,0,1\bigr)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(-1,0,1\bigr).
Isto mostra claramente que a direção está no plano x z e forma um ângulo de 45^\circ com os eixos, mas entre os eixos x e z, não entre y e z.

Passo 5

Sobre o sinal e o ângulo \theta=-45^\circ:
  • Se alguém medisse o ângulo no plano x z tomando o eixo z como referência, o vetor (-1,0,1) está inclinado 45^\circ em relação ao eixo z, apontando no sentido para +z e -x. Dependendo de convenções, pode-se citar um ângulo \pm45^\circ no plano x z.
  • Porém o enunciado afirma que a onda propaga no plano y z. Isso é incompatível com k_x\neq0 e k_y=0. Portanto a afirmação do enunciado é incorreta mesmo que o valor absoluto de 45^\circ pudesse aparecer em outro plano.

Passo 6

Conclusão final e motivação curta para a prova:
  • Para checar rapidamente numa prova: identifique os termos espaciais na fase. Se aparecer x e z, a propagação envolve o plano x z. Se aparecesse apenas y e z, aí sim seria o plano y z.
  • Aqui a presença de x torna impossível afirmar que a onda se propaga exclusivamente no plano y z.

Resposta

Falso

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