(6) Uma carga q=1,0 \mu C é abandonada em repouso em um campo elétrico uniforme de intensidade E=1,0 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{C}(\rightarrow).
Determine:
a) a força elétrica que atua em q;
b) a aceleração da carga ( m=1,0 \times 10^{-6} \mathrm{~kg} );
c) a velocidade ao passar por B, que está a 0,20 \mathrm{~m} de A.
Solução:
a) F=q E=\left(1,0 \times 10^{-6}\right)\left(1,0 \times 10^{5}\right)=0,10 \mathrm{~N}(\rightarrow)
b) F=m a \rightarrow a=\frac{F}{m}=\frac{0,10}{1,0 \times 10^{-6}}=1,0 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}(\rightarrow)
c)
\begin{array}{l} v^{2}=v_{0}^{2}+2 a \Delta s \quad\left(v_{0}=0\right) \\\ v=\sqrt{2 a \Delta s}=\sqrt{2\left(1,0 \times 10^{5}\right)(0,20)}=200 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{array}
Resposta:
a) 0,10 \mathrm{~N}
b) 1,0 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
c) 200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Carga: \displaystyle q=1{,}0\\ \mu\mathrm{C}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
    • Campo elétrico uniforme: \displaystyle \vec{E}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{N/C} (seta para a direita).
    • Massa da carga: \displaystyle m=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}.
    • A carga é largada em repouso em A (ou seja, velocidade inicial \displaystyle v_0=0).
    • Ponto B está a \displaystyle \Delta s=0{,}20\\ \mathrm{m} de A na direção do campo.
  • Perguntas:
    a) Qual é a força elétrica que atua em q?
    b) Qual a aceleração da carga?
    c) Qual a velocidade da carga ao passar por B (distância \displaystyle 0{,}20\\ \mathrm{m} a partir de A)?

Passo 2

Conceito e fórmula para a força elétrica num campo uniforme:
  • Quando uma carga elétrica \displaystyle q está num campo elétrico uniforme \displaystyle \vec{E}, a força elétrica é dada por
\vec{F}=q\,\vec{E}.
  • Aqui \displaystyle \vec{F} tem direção e sentido do campo se \displaystyle q for positivo, e sentido oposto se \displaystyle q for negativo.
  • Unidades: \mathrm{C}\times\mathrm{N/C}=\mathrm{N} (newton), que é a unidade de força.
Aplicando aos números dados:
  • Converter \displaystyle q para coulombs: \displaystyle q=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Multiplicando:
\vec{F}=(1{,}0\times10^{-6})(1{,}0\times10^{5})\\ \mathrm{N}=1{,}0\times10^{-1}\\ \mathrm{N}.
  • Escrevendo em forma decimal: \displaystyle 1{,}0\times10^{-1}=0{,}10.
  • Direção: para a direita (mesmo sentido de \vec{E}).

Passo 3

Leis de Newton e cálculo da aceleração:
  • A segunda lei de Newton relaciona força, massa e aceleração:
\vec{F}=m\,\vec{a}.
  • Assim, a aceleração é
\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}.
  • Unidades: \mathrm{N}/\mathrm{kg}=\mathrm{m/s^{2}}.
Usando \displaystyle F=0{,}10\\ \mathrm{N} e \displaystyle m=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}:
\vec{a}=\frac{0{,}10}{1{,}0\times10^{-6}}\\ \mathrm{m/s^{2}}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Direção: para a direita (mesmo sentido da força).
Observação didática: a aceleração é enorme porque a massa é muito pequena; o campo é constante então a força (e portanto a aceleração) é constante — isso permite usar as fórmulas do movimento retilíneo uniformemente acelerado.

Passo 4

Equação do movimento para obter a velocidade em B:
  • Para movimento com aceleração constante e velocidade inicial \displaystyle v_0, a relação entre velocidade final v, aceleração a e deslocamento \Delta s é
v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta s.
  • Aqui:
    • \displaystyle v é a velocidade ao passar por B,
    • \displaystyle v_0 é a velocidade inicial (aqui v_0=0),
    • \displaystyle a é a aceleração (já calculada),
    • \displaystyle \Delta s é o deslocamento (aqui 0{,}20\\ \mathrm{m}).
Substituindo:
v^{2}=0+2\cdot(1{,}0\times10^{5})\cdot(0{,}20).
Calcule passo a passo:
  • Primeiro (1{,}0\times10^{5})\cdot(0{,}20)=1{,}0\times10^{5}\times2{,}0\times10^{-1}=2{,}0\times10^{4}.
  • Então 2\cdot2{,}0\times10^{4}=4{,}0\times10^{4}.
  • Logo v^{2}=4{,}0\times10^{4}.
  • Tomando raiz quadrada:
v=\sqrt{4{,}0\times10^{4}}=\sqrt{4{,}0}\times\sqrt{10^{4}}=2{,}0\times10^{2}=200\\ \mathrm{m/s}.
  • Direção: para a direita.

Passo 5

Verificação alternativa (teorema do trabalho-energia) — útil para fixar a ideia:
  • Trabalho da força elétrica ao deslocar a carga por \Delta s é W=F\Delta s (força constante e deslocamento paralelo).
  • Variação da energia cinética: \Delta K = \tfrac{1}{2}m v^{2}-\tfrac{1}{2}m v_{0}^{2}=W.
  • Com v_{0}=0, fica \tfrac{1}{2}m v^{2}=F\Delta s e portanto
v=\sqrt{\frac{2F\Delta s}{m}}.
  • Substituindo F=0{,}10\\ \mathrm{N}, \Delta s=0{,}20\\ \mathrm{m}, m=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}:
v=\sqrt{\frac{2\cdot0{,}10\cdot0{,}20}{1{,}0\times10^{-6}}} =\sqrt{\frac{0{,}040}{1{,}0\times10^{-6}}} =\sqrt{4{,}0\times10^{4}}=200\\ \mathrm{m/s},
o mesmo resultado — bom sinal de consistência.

Resposta

a) \displaystyle 0{,}10\\ \mathrm{N} (para a direita)
b) \displaystyle 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{m/s^{2}} (para a direita)
c) \displaystyle 200\\ \mathrm{m/s} (para a direita)

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