Uma carga é alimentada por uma tensão de 240 V (rms), 60 Hz . Medições feitas nesta carga indicaram uma potência igual a 100 kW e um fator de potência atrasado igual a 0,75 . Determine o valor da capacitância necessária para elevar o fator de potência para 0,92 .

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a capacitância necessária para elevar o fator de potência de uma carga de 0{,}75 (atrasado) para 0{,}92, quando a carga consome uma potência ativa de 100\\ \text{kW} e está alimentada por 240\\ \text{V (rms)}, 60\\ \text{Hz}.
Informações dadas:
P = 100\\ \text{kW} = 100\,000\\ \text{W},
V = 240\\ \text{V (rms)},
f = 60\\ \text{Hz},
fator de potência inicial \text{pf}_1 = 0{,}75 (atrasado) e fator de potência desejado \text{pf}_2 = 0{,}92.
O que vamos encontrar: a capacitância C que, conectada em paralelo à carga, fornece a reativa capacitiva necessária para reduzir a reativa total até a que corresponde ao novo fator de potência.

Passo 2

Entendendo as grandezas ativas e reativas e suas relações (aulas rápidas e úteis): a potência ativa P é a potência “real” dissipada/consumida; a potência aparente S é dada por S = V I (em VA) e relaciona-se com P e a potência reativa Q por
S^2 = P^2 + Q^2.
O fator de potência é o cosseno do ângulo de fase \varphi entre tensão e corrente:
\text{pf} = \cos\varphi = \frac{P}{S}.
Dessas relações segue a forma prática muito usada:
Q = P \tan\varphi.
Explicação: como \tan\varphi = Q/P, multiplicando por P obtemos Q. Aqui Q é positiva para cargas indutivas (atrasadas).

Passo 3

Calcular Q inicial (indutiva) usando \text{pf}_1=0{,}75. Primeiro encontramos \varphi_1:
\varphi_1 = \operatorname{arccos}(0{,}75).
Agora usamos Q_1 = P \tan\varphi_1. Vamos calcular numericamente passo a passo.
Cálculo de \tan\varphi_1: como \sin\varphi_1=\sqrt{1-\cos^2\varphi_1}=\sqrt{1-0{,}75^2}, temos
\sin\varphi_1 = \sqrt{1-0{,}5625}=\sqrt{0{,}4375}\approx 0{,}6614378,
\tan\varphi_1=\frac{\sin\varphi_1}{\cos\varphi_1}=\frac{0{,}6614378}{0{,}75}\approx 0{,}8819171.
Portanto
Q_1 = P\tan\varphi_1 \approx 100\,000\cdot 0{,}8819171 \approx 88\,191{,}71\\ \text{var}.

Passo 4

Calcular Q desejada (após correção) correspondente a \text{pf}_2=0{,}92. Repetimos o mesmo processo: \varphi_2=\operatorname{arccos}(0{,}92) e
\tan\varphi_2=\frac{\sqrt{1-0{,}92^2}}{0{,}92}.
Cálculo numérico:
\sin\varphi_2=\sqrt{1-0{,}92^2}=\sqrt{1-0{,}8464}=\sqrt{0{,}1536}\approx 0{,}3920,
\tan\varphi_2\approx\frac{0{,}3920}{0{,}92}\approx 0{,}42609.
Logo
Q_2 = P\tan\varphi_2 \approx 100\,000\cdot 0{,}42609 \approx 42\,608{,}70\\ \text{var}.

Passo 5

Determinar a potência reativa que o banco de capacitores deve fornecer. Como inicialmente a carga é indutiva, Q_1 é positiva; queremos diminuir a reativa total até Q_2. O capacitor fornece reativa capacitiva Q_C (valor positivo que representa a magnitude) tal que:
Q_\text{final} = Q_1 - Q_C = Q_2.
Logo
Q_C = Q_1 - Q_2.
Substituindo os valores numéricos:
Q_C \approx 88\,191{,}71 - 42\,608{,}70 \approx 45\,583{,}01\\ \text{var}.
(Arredondei mantendo várias casas para precisão; em kVAr isto é aproximadamente 45{,}58\\ \text{kVAr}.)

Passo 6

Relacionando a reativa do capacitor com a capacitância: a reativa fornecida por um capacitor ligado à tensão senoidal V (valor eficaz) e frequência angular \omega é dada por
Q_C = V^2\omega C,
onde \omega = 2\pi f. Explicando: a corrente de um capacitor é I_C = V\omega C (em regime senoidal, valores eficazes), e a potência reativa (magnitude) é Q_C = V I_C = V\cdot(V\omega C)=V^2\omega C.
Isolando C:
C = \frac{Q_C}{V^2\omega}.

Passo 7

Substituir os valores numéricos: Q_C \approx 45\,583{,}01\\ \text{var}, V = 240\\ \text{V}, f = 60\\ \text{Hz}, portanto \omega = 2\pi\cdot 60 = 120\pi\\ \text{rad/s}. Temos
C \approx \frac{45\,583{,}01}{240^2\cdot 120\pi}.
Calculemos passo a passo: 240^2 = 57\,600 e 120\pi \approx 376{,}9911, então o denominador é aproximadamente 57\,600\cdot 376{,}9911 \approx 2{,}1714\times10^{7}. Assim
C \approx \frac{45\,583{,}01}{2{,}1714688\times10^{7}}\approx 2{,}10\times10^{-3}\\ \text{F}.

Passo 8

Interpretação final e unidades práticas: C\approx 2{,}10\times10^{-3}\\ \text{F}, que é igual a 2{,}10\\ \text{mF} ou aproximadamente 2100\\ \mu\text{F}. Esse é o valor de capacitância que, ligado em paralelo à carga (a 240\\ \text{V}, 60\\ \text{Hz}), fornecerá cerca de 45{,}58\\ \text{kVAr} capacitiva e elevará o fator de potência de 0{,}75 para 0{,}92.

Resposta

\;C\approx2{,}10\times10^{-3}\\ \mathrm{F}=2{,}10\\ \mathrm{mF}=2100\\ \mu\mathrm{F}

Exercícios relacionados