3.1 l Suponha que o experimento de Faraday, com esferas concêntricas, seja realizado no espaço livre com a utilização de uma carga central na origem, Q_{1}, e com hemisférios de raio a. Uma segunda carga Q_{2} (uma carga pontual) está localizada a uma distância R de Q_{1}, \operatorname{com} \mathrm{R} \gg a. (a) Qual é a força sobre a carga pontual antes dos hemisférios serem reunidos ao redor de Q_{1} ? (b) Qual é a força sobre a carga pontual após os hemisférios serem reunidos, mas antes de serem descarregados? (c) Qual é a força sobre a carga pontual após os hemisférios serem reunidos e descarregados? (d) Descreva, qualitativamente, o que acontece à medida que Q_{2} é movido em direção à montagem de esferas de tal modo que a condição R \gg a não seja mais válida.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte (vou listar tudinho, bem claro):
  • Há uma carga pontual central \;Q_{1}\; colocada na origem.
  • Dois hemisférios condutores de raio \;a\; podem ser reunidos formando uma casca esférica condutora de raio \;a\;.
  • Uma segunda carga pontual \;Q_{2}\; está a uma distância \;R\; da origem, com a condição \;R\gg a\;.
    As perguntas são:
    (a) Qual a força sobre \;Q_{2}\; antes dos hemisférios serem reunidos ao redor de \;Q_{1}\;?
    (b) Qual a força sobre \;Q_{2}\; após os hemisférios serem reunidos, mas antes de serem descarregados?
    (c) Qual a força sobre \;Q_{2}\; após os hemisférios serem reunidos e descarregados?
    (d) Descrever qualitativamente o que acontece quando \;Q_{2}\; se aproxima da montagem até que \;R\gg a\; deixe de valer.
    Informações dados: \;Q_{1},Q_{2},a,R e a ordem dos eventos (antes de reunir, depois de reunir isolado, depois de reunir e descarregar). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

(a) Antes dos hemisférios serem reunidos existe apenas as duas cargas livres no espaço: \;Q_{1}\; na origem e \;Q_{2}\; a distância \;R\;.
A lei que descreve a força entre duas cargas puntiformes é a lei de Coulomb. Vou lembrar e explicar ela de forma simples: a magnitude da força elétrica entre duas cargas puntiformes é proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A constante de proporcionalidade no vácuo é \;k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;, onde \;\varepsilon_{0}\; é a permissividade do vácuo.
A expressão vetorial padrão (com direção radial) é:
\mathbf{F} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\dfrac{Q_{1}Q_{2}}{R^{2}}\;\hat{\mathbf{r}},
onde \;\hat{\mathbf{r}}\; é o versor do ponto em \;Q_{1}\; para \;Q_{2}\; (ou seja, a direção radial). O sinal do produto Q_{1}Q_{2} determina se a força é repulsiva (produto positivo) ou atrativa (produto negativo).
Portanto, antes de reunir os hemisférios a força sobre \;Q_{2}\; é dada por essa lei de Coulomb.

Passo 3

(b) Agora os hemisférios são reunidos formando uma casca condutora esférica de raio \;a\; ao redor de \;Q_{1}\;, mas ainda não foram descarregados (ou seja, a casca está isolada e neutra inicialmente). Vou explicar fisicamente o que acontece com as cargas e por que isso interessa para a força sobre \;Q_{2}\;.
Conceito importante (explicado devagar): um condutor em equilíbrio eletrostático tem o campo elétrico nulo no seu material; isso obriga cargas induzidas a aparecerem nas superfícies. No caso de uma carga pontual \;Q_{1}\; colocada no interior de uma casca condutora neutra, por simetria e pela condição E=0 no metal temos: carga induzida -Q_{1} na superfície interna (para cancelar o campo dentro do corpo condutor) e carga +Q_{1} na superfície externa, de modo que o condutor continua com carga líquida zero ( -Q_{1}+Q_{1}=0). Isso é consequência direta da lei de Gauss e da condição de que o interior do condutor não pode ter campo elétrico. Vou mostrar isso com um raciocínio com Gauss: escolha uma superfície gaussiana esférica de raio \;r\; com \;r>a\; (ou seja, fora da casca). Essa superfície envolve a carga \;Q_{1}\; e todas as cargas induzidas na casca; o fluxo é proporcional à soma algébrica dessas cargas. Como a casca era neutra inicialmente, a soma algébrica das cargas induzidas é zero, então o fluxo e o campo fora da casca equivalem ao de uma carga total \;Q_{1}\; no centro. Em resumo: do ponto de vista de um ponto externo (qualquer \;r>a\;), o campo produzido pelo conjunto (carga central + casca isolada) é exatamente o mesmo que o campo da carga Q_{1} sozinha no centro.
Conclusão prática para a força sobre \;Q_{2}\;: como \;Q_{2}\; está em \;R\gg a\; (ou, de fato, para qualquer \;R>a\;), ele “vê” o mesmo campo que via antes; logo a força sobre \;Q_{2}\; permanece
\mathbf{F} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\dfrac{Q_{1}Q_{2}}{R^{2}}\;\hat{\mathbf{r}}.
Obs.: esse resultado não depende do fato de \;R\gg a\; ser muito grande — para uma casca esférica concentricamente fechada e com \;Q_{1}\; no centro, o campo externo é idêntico ao de \;Q_{1}\; para qualquer \;R>a\;.

Passo 4

(c) Agora reunimos os hemisférios e os “descarregamos”. Explicar o que significa descarregar: normalmente, “descarregar” aqui quer dizer ligar a casca à terra (ou permitir que ela perca ou ganhe carga até ficar em equilíbrio com o potencial da terra), ou de modo geral remover a carga líquida que estava na superfície externa. Vou analisar o efeito físico dessa operação.
Quando a casca está aterrada (ou descarregada), ela pode trocar carga com a terra. A condição de campo nulo no condutor ainda exige que haja carga induzida na superfície interna que neutralize o campo produzido por \;Q_{1}\; no metal; portanto aparece -Q_{1} na superfície interna. Entretanto, a carga que antes estaria na superfície externa ( +Q_{1}) agora pode fluir para a terra, ficando a superfície externa com carga zero. Assim o conjunto “carga central + casca aterrada” tem carga total que aparece para um observador externo igual a
Q_{\text{total, exterior}} = Q_{1} + (\text{cargas na casca}) = Q_{1} + (-Q_{1}) + 0 = 0.
Em outras palavras: fora da casca, o campo elétrico é nulo. Portanto a força sobre qualquer carga externa \;Q_{2}\; colocada em \;R>a\; é zero. Logo, após descarregar a casca, a força sobre \;Q_{2}\; é
\mathbf{F}=\mathbf{0}.
Física-intuitiva: a casca aterrada repele/através das correntes com a terra reorganiza as cargas de forma que nada “escapa” para o exterior — o lado exterior não vê campo proveniente de \;Q_{1}\;.

Passo 5

(d) Agora o comportamento quando \;Q_{2}\; se aproxima até que a hipótese \;R\gg a\; deixe de valer. Vou descrever qualitativamente os efeitos principais, separando os casos relevantes (casca não reunida, casca reunida isolada, casca reunida e aterrada), e explicando de forma intuitiva o que muda conforme \;R\; diminui.
  • Caso inicial — hemisférios não reunidos (situação de (a)): não há condutor envolvendo \;Q_{1}\;, então a força entre \;Q_{1}\; e \;Q_{2}\; é sempre a força de Coulomb direta \propto 1/R^{2} enquanto não houver outras superfícies condutoras próximas. Ao aproximar \;Q_{2}\; ela cresce como 1/R^{2} até que efeitos de contato, relatividade ou dimensões finitas se tornem importantes.
  • Casca reunida e isolada (situação de (b)): se a casca está perfeitamente esférica e \;Q_{1}\; está no centro, então, na ausência de outras cargas externas, o campo externo continua igual ao de \;Q_{1} independentemente de \;R — isto vale para qualquer \;R>a\;. Porém, quando \;Q_{2}\; se aproxima o suficiente, ele próprio começa a induzir uma redistribuição de carga na superfície externa da casca (porque um condutor reage a qualquer campo externo). Essa redistribuição produz um campo adicional que age sobre \;Q_{2}\;. Consequências práticas: o campo visto por \;Q_{2}\; deixa de ser apenas o devido a \;Q_{1}\; — aparece uma contribuição de polarização da casca. Tipicamente essa contribuição é atrativa (por exemplo, se \;Q_{2}\; for positiva, a face próxima da casca terá excesso de carga negativa induzida), de modo que o movimento de aproximação pode ser modificado (a força resultante será a soma do Coulomb direto com a força devida às cargas induzidas). Quando \;Q_{2}\; fica muito próxima da superfície, o efeito de indução (que pode ser tratado por métodos de imagem em casos simples) pode tornar-se dominante e causar uma atração adicional forte.
  • Casca reunida e aterrada (situação de (c)): quando a casca está aterrada, para pontos externos e longe dela o campo devido a \;Q_{1}\; é nulo. Porém, à medida que \;Q_{2}\; se aproxima, ele induz cargas na casca aterrada — e como a casca está conectada à terra, poderá receber/fornecer carga livremente — de novo resultando numa carga de sinal oposto próxima à superfície mais próxima de \;Q_{2}\;. Isso gera uma atração sobre \;Q_{2}\;. Assim, embora quando \;Q_{2}\; esteja longe a força seja zero, ao ficar próximo a casca aterrada ele sentirá uma forte atração induzida. Se \;Q_{2}\; tocar a casca aterrada pode ocorrer transferência de carga para a terra (descarga de \;Q_{2}\;).
Resumo qualitativo final: ao aproximar \;Q_{2}\; até \;R\sim a aparecem efeitos de polarização/indução sobre a casca que mudam a força real sobre \;Q_{2}\;. Para casca isolada a força se transforma de modo que é a soma do termo Coulomb central com o campo gerado pelas cargas induzidas; para casca aterrada, a força parte de zero (quando longe) e adquire uma atração induzida quando \;Q_{2}\; se aproxima, podendo haver transferência de carga de contato.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{F}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\dfrac{Q_{1}Q_{2}}{R^{2}}\;\hat{\mathbf{r}} (repulsiva ou atrativa conforme o sinal de Q_{1}Q_{2}).
(b) \displaystyle \mathbf{F}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\dfrac{Q_{1}Q_{2}}{R^{2}}\;\hat{\mathbf{r}} (mesma que em (a)).
(c) \displaystyle \mathbf{F}=\mathbf{0}.
(d) Ao aproximar \;Q_{2}\; até \;R\sim a\;: indução de cargas na casca modifica a força. Para casca isolada a força torna-se a soma da força Coulomb de \;Q_{1}\; e da força devido às cargas induzidas na casca (geralmente aparecendo uma atração adicional quando Q_{2} se aproxima); para casca aterrada, embora longe a força seja nula, ao aproximar Q_{2} surge uma atração induzida e, em contato, pode ocorrer transferência de carga (descarga).

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