3.1 l Suponha que o experimento de Faraday, com esferas concêntricas, seja realizado no espaço livre com a utilização de uma carga central na origem,
, e com hemisférios de raio
. Uma segunda carga
(uma carga pontual) está localizada a uma distância
de
. (a) Qual é a força sobre a carga pontual antes dos hemisférios serem reunidos ao redor de
? (b) Qual é a força sobre a carga pontual após os hemisférios serem reunidos, mas antes de serem descarregados? (c) Qual é a força sobre a carga pontual após os hemisférios serem reunidos e descarregados? (d) Descreva, qualitativamente, o que acontece à medida que
é movido em direção à montagem de esferas de tal modo que a condição
não seja mais válida.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte (vou listar tudinho, bem claro):
- Há uma carga pontual central
colocada na origem. - Dois hemisférios condutores de raio
podem ser reunidos formando uma casca esférica condutora de raio . - Uma segunda carga pontual
está a uma distância da origem, com a condição .
As perguntas são:
(a) Qual a força sobreantes dos hemisférios serem reunidos ao redor de ?
(b) Qual a força sobreapós os hemisférios serem reunidos, mas antes de serem descarregados?
(c) Qual a força sobreapós os hemisférios serem reunidos e descarregados?
(d) Descrever qualitativamente o que acontece quandose aproxima da montagem até que deixe de valer.
Informações dados:e a ordem dos eventos (antes de reunir, depois de reunir isolado, depois de reunir e descarregar). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
(a) Antes dos hemisférios serem reunidos existe apenas as duas cargas livres no espaço:
na origem e
a distância
.
A lei que descreve a força entre duas cargas puntiformes é a lei de Coulomb. Vou lembrar e explicar ela de forma simples: a magnitude da força elétrica entre duas cargas puntiformes é proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A constante de proporcionalidade no vácuo é , onde
é a permissividade do vácuo.
A expressão vetorial padrão (com direção radial) é:
A lei que descreve a força entre duas cargas puntiformes é a lei de Coulomb. Vou lembrar e explicar ela de forma simples: a magnitude da força elétrica entre duas cargas puntiformes é proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A constante de proporcionalidade no vácuo é
A expressão vetorial padrão (com direção radial) é:
onde
é o versor do ponto em
para
(ou seja, a direção radial). O sinal do produto
determina se a força é repulsiva (produto positivo) ou atrativa (produto negativo).
Portanto, antes de reunir os hemisférios a força sobre é dada por essa lei de Coulomb.
Portanto, antes de reunir os hemisférios a força sobre
Passo 3
(b) Agora os hemisférios são reunidos formando uma casca condutora esférica de raio
ao redor de
, mas ainda não foram descarregados (ou seja, a casca está isolada e neutra inicialmente). Vou explicar fisicamente o que acontece com as cargas e por que isso interessa para a força sobre
.
Conceito importante (explicado devagar): um condutor em equilíbrio eletrostático tem o campo elétrico nulo no seu material; isso obriga cargas induzidas a aparecerem nas superfícies. No caso de uma carga pontual colocada no interior de uma casca condutora neutra, por simetria e pela condição
no metal temos: carga induzida
na superfície interna (para cancelar o campo dentro do corpo condutor) e carga
na superfície externa, de modo que o condutor continua com carga líquida zero (
). Isso é consequência direta da lei de Gauss e da condição de que o interior do condutor não pode ter campo elétrico. Vou mostrar isso com um raciocínio com Gauss: escolha uma superfície gaussiana esférica de raio
com
(ou seja, fora da casca). Essa superfície envolve a carga
e todas as cargas induzidas na casca; o fluxo é proporcional à soma algébrica dessas cargas. Como a casca era neutra inicialmente, a soma algébrica das cargas induzidas é zero, então o fluxo e o campo fora da casca equivalem ao de uma carga total
no centro. Em resumo: do ponto de vista de um ponto externo (qualquer
), o campo produzido pelo conjunto (carga central + casca isolada) é exatamente o mesmo que o campo da carga
sozinha no centro.
Conclusão prática para a força sobre : como
está em
(ou, de fato, para qualquer
), ele “vê” o mesmo campo que via antes; logo a força sobre
permanece
Conceito importante (explicado devagar): um condutor em equilíbrio eletrostático tem o campo elétrico nulo no seu material; isso obriga cargas induzidas a aparecerem nas superfícies. No caso de uma carga pontual
Conclusão prática para a força sobre
Obs.: esse resultado não depende do fato de
ser muito grande — para uma casca esférica concentricamente fechada e com
no centro, o campo externo é idêntico ao de
para qualquer
.
Passo 4
(c) Agora reunimos os hemisférios e os “descarregamos”. Explicar o que significa descarregar: normalmente, “descarregar” aqui quer dizer ligar a casca à terra (ou permitir que ela perca ou ganhe carga até ficar em equilíbrio com o potencial da terra), ou de modo geral remover a carga líquida que estava na superfície externa. Vou analisar o efeito físico dessa operação.
Quando a casca está aterrada (ou descarregada), ela pode trocar carga com a terra. A condição de campo nulo no condutor ainda exige que haja carga induzida na superfície interna que neutralize o campo produzido por no metal; portanto aparece
na superfície interna. Entretanto, a carga que antes estaria na superfície externa (
) agora pode fluir para a terra, ficando a superfície externa com carga zero. Assim o conjunto “carga central + casca aterrada” tem carga total que aparece para um observador externo igual a
Quando a casca está aterrada (ou descarregada), ela pode trocar carga com a terra. A condição de campo nulo no condutor ainda exige que haja carga induzida na superfície interna que neutralize o campo produzido por
Em outras palavras: fora da casca, o campo elétrico é nulo. Portanto a força sobre qualquer carga externa
colocada em
é zero. Logo, após descarregar a casca, a força sobre
é
Física-intuitiva: a casca aterrada repele/através das correntes com a terra reorganiza as cargas de forma que nada “escapa” para o exterior — o lado exterior não vê campo proveniente de
.
Passo 5
(d) Agora o comportamento quando
se aproxima até que a hipótese
deixe de valer. Vou descrever qualitativamente os efeitos principais, separando os casos relevantes (casca não reunida, casca reunida isolada, casca reunida e aterrada), e explicando de forma intuitiva o que muda conforme
diminui.
-
Caso inicial — hemisférios não reunidos (situação de (a)): não há condutor envolvendo
, então a força entre e é sempre a força de Coulomb direta enquanto não houver outras superfícies condutoras próximas. Ao aproximar ela cresce como até que efeitos de contato, relatividade ou dimensões finitas se tornem importantes. -
Casca reunida e isolada (situação de (b)): se a casca está perfeitamente esférica e
está no centro, então, na ausência de outras cargas externas, o campo externo continua igual ao de independentemente de — isto vale para qualquer . Porém, quando se aproxima o suficiente, ele próprio começa a induzir uma redistribuição de carga na superfície externa da casca (porque um condutor reage a qualquer campo externo). Essa redistribuição produz um campo adicional que age sobre . Consequências práticas: o campo visto por deixa de ser apenas o devido a — aparece uma contribuição de polarização da casca. Tipicamente essa contribuição é atrativa (por exemplo, se for positiva, a face próxima da casca terá excesso de carga negativa induzida), de modo que o movimento de aproximação pode ser modificado (a força resultante será a soma do Coulomb direto com a força devida às cargas induzidas). Quando fica muito próxima da superfície, o efeito de indução (que pode ser tratado por métodos de imagem em casos simples) pode tornar-se dominante e causar uma atração adicional forte. -
Casca reunida e aterrada (situação de (c)): quando a casca está aterrada, para pontos externos e longe dela o campo devido a
é nulo. Porém, à medida que se aproxima, ele induz cargas na casca aterrada — e como a casca está conectada à terra, poderá receber/fornecer carga livremente — de novo resultando numa carga de sinal oposto próxima à superfície mais próxima de . Isso gera uma atração sobre . Assim, embora quando esteja longe a força seja zero, ao ficar próximo a casca aterrada ele sentirá uma forte atração induzida. Se tocar a casca aterrada pode ocorrer transferência de carga para a terra (descarga de ).
Resumo qualitativo final: ao aproximar
até
aparecem efeitos de polarização/indução sobre a casca que mudam a força real sobre
. Para casca isolada a força se transforma de modo que é a soma do termo Coulomb central com o campo gerado pelas cargas induzidas; para casca aterrada, a força parte de zero (quando longe) e adquire uma atração induzida quando
se aproxima, podendo haver transferência de carga de contato.
Resposta
(a)
(repulsiva ou atrativa conforme o sinal de
).
(b) (mesma que em (a)).
(c)
(d) Ao aproximar até
: indução de cargas na casca modifica a força. Para casca isolada a força torna-se a soma da força Coulomb de
e da força devido às cargas induzidas na casca (geralmente aparecendo uma atração adicional quando
se aproxima); para casca aterrada, embora longe a força seja nula, ao aproximar
surge uma atração induzida e, em contato, pode ocorrer transferência de carga (descarga).
(b)
(c)
(d) Ao aproximar