Dados \mathrm{v}(\mathrm{t})=40 \cos \left(5 \mathrm{t}+10^{\circ}\right) V e i (\mathrm{t})=10 \operatorname{sen}\left(5 \mathrm{t}+30^{\circ}\right) A, qual a potência instantânea e a potência média absorvida pelo circuito.

Passo 1

O enunciado dá duas grandezas temporais senoidais e pede duas coisas:
  • Dados \mathrm{v}(\mathrm{t})=40\cos\left(5\mathrm{t}+10^\circ\right) V e \mathrm{i}(\mathrm{t})=10\operatorname{sen}\left(5\mathrm{t}+30^\circ\right) A, calcular a potência instantânea absorvida pelo circuito, p(t).
  • Calcular a potência média absorvida pelo circuito, P_{\text{méd}}é.
Informações relevantes entregues pelo enunciado:
  • Amplitudes: tensão máxima V_m=40 V e corrente máxima I_m=10 A.
  • Frequência angular comum: \omega=5 rad/s (ambas dependem de 5\mathrm{t}).
  • Fases: tensão com fase +10^\circ, corrente com fase +30^\circ (no entanto a corrente está escrita em seno).
  • Assumimos a convenção passiva (potência positiva = circuito absorve potência).

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar as duas sinais na mesma forma trigonométrica (uso de cosseno ajuda na multiplicação). Usamos a identidade \operatorname{sen} x=\cos(x-90^\circ). Assim:
\mathrm{i}(\mathrm{t})=10\operatorname{sen}\left(5\mathrm{t}+30^\circ\right)=10\cos\bigl(5\mathrm{t}+30^\circ-90^\circ\bigr)=10\cos\left(5\mathrm{t}-60^\circ\right).
Agora temos
\mathrm{v}(\mathrm{t})=40\cos\left(5\mathrm{t}+10^\circ\right),\qquad \mathrm{i}(\mathrm{t})=10\cos\left(5\mathrm{t}-60^\circ\right).
Explicação curta do porquê: multiplicar duas cossenos é direto usando uma identidade trigonométrica; por isso converti o seno em cosseno.

Passo 3

A potência instantânea é o produto tensão·corrente:
p(t)=\mathrm{v}(\mathrm{t})\cdot \mathrm{i}(\mathrm{t}) = 40\cos\left(5\mathrm{t}+10^\circ\right)\cdot 10\cos\left(5\mathrm{t}-60^\circ\right).
Juntando constantes:
p(t)=400\cos\left(5\mathrm{t}+10^\circ\right)\cos\left(5\mathrm{t}-60^\circ\right).
Usamos agora a identidade produto-para-soma:
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr].
Aplicando com A=5\mathrm{t}+10^\circ e B=5\mathrm{t}-60^\circ:
  • A-B=(5\mathrm{t}+10^\circ)-(5\mathrm{t}-60^\circ)=70^\circ.
  • A+B=(5\mathrm{t}+10^\circ)+(5\mathrm{t}-60^\circ)=10\mathrm{t}-50^\circ.
Substituindo:
p(t)=400\cdot\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(70^\circ)+\cos(10\mathrm{t}-50^\circ)\bigr]=200\cos(70^\circ)+200\cos(10\mathrm{t}-50^\circ).
Explicação: apareceu uma componente constante (termo de média) e uma componente oscilante de frequência dupla ( 2\omega=10 rad/s).

Passo 4

Vamos avaliar numericamente o termo constante (que será a potência média). Primeiro o valor de \cos(70^\circ):
\cos(70^\circ)\approx 0,342020\ldots
Multiplicando por 200:
200\cos(70^\circ)\approx 200\cdot 0,342020\ldots \approx 68,404\\ \text{W}.
Portanto a expressão numérica para a potência instantânea é
p(t)=200\cos(70^\circ)+200\cos(10\mathrm{t}-50^\circ)\\ \text{(W)},
ou aproximando o termo constante:
p(t)\approx 68,404+200\cos(10\mathrm{t}-50^\circ)\\ \text{(W)}.

Passo 5

Agora a potência média: a média temporal de \cos(10\mathrm{t}-50^\circ) é zero (é uma oscilação simétrica ao longo do tempo). Logo a potência média é apenas o termo constante:
P_{\text{méd}}=200\cos(70^\circ).é
Já calculamos numericamente:
P_{\text{méd}}\approx 68,404\\ \text{W}.é

Passo 6

Método alternativo (compacto) — fórmula conhecida que vale para sinais senoidais: a potência média ativa pode ser obtida por
P_{\text{méd}}=V_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\varphi,é
onde \varphi é a diferença de fase \varphi=\phi_v-\phi_i. Aqui V_{\mathrm{rms}}=V_m/\sqrt{2}=40/\sqrt{2}, I_{\mathrm{rms}}=I_m/\sqrt{2}=10/\sqrt{2}, portanto V_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}=(40\cdot 10)/2=200. A diferença de fases, usando a forma em cosseno, é \phi_v=10^\circ e \phi_i=-60^\circ, então \varphi=10^\circ-(-60^\circ)=70^\circ. Assim
P_{\text{méd}}=200\cos(70^\circ),é
o mesmo resultado obtido antes (confirmação).

Resposta

p(t)=200\cos(70^\circ)+200\cos(10\mathrm{t}-50^\circ)\\ \text{W} \n
P_{\text{méd}}=200\cos(70^\circ)\approx 68,404\\ \text{W}é

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