Certa carga ligada em série drena uma corrente \mathrm{i}(\mathrm{t})=6 \cos \left(50 \pi \mathrm{t}+20^{\circ}\right) \mathrm{A}, quando a tensão aplicada é \mathrm{v}(\mathrm{t})=240 \cos \left(50 \pi \mathrm{t}-10^{\circ}\right) \mathrm{V}.
Determine a potência aparente e o fator de potência da carga. Adicionalmente, estabeleça os valores dos elementos que formam a carga ligada em série.

Passo 1

O enunciado dá duas formas de onda senoidais e pede três coisas. Vou listar exatamente o que foi dado e o que você precisa encontrar.
Dados (extraídos do enunciado):
v(t)=240\cos\bigl(50\pi t-10^\circ\bigr)\\ \text{V}
i(t)=6\cos\bigl(50\pi t+20^\circ\bigr)\\ \text{A}
O que o exercício pede:
  1. Determinar a potência aparente da carga.
  2. Determinar o fator de potência da carga (valor numérico e se é indutivo/capacitivo — isto é, se é atrasado ou adiantado).
  3. Determinar os valores dos elementos que formam a carga ligada em série (ou seja, encontrar a resistência e a reatância/elemento reativo equivalente, e se for um capacitor ou indutor, calcular seu valor).
Não vou resolver nada aqui — só coloquei os dados e as perguntas, como você pediu. Agora vamos para as etapas de cálculo, devagar e passo a passo.

Passo 2

Primeiro precisamos transformar amplitudes em valores eficazes (RMS) e expressar as fasores (que são essenciais para potência em regime senoidal estacionário).
Conceito rápido e importante (aula mini): para uma grandeza senoidal x(t)=X_m\cos(\omega t+\theta), o valor eficaz (RMS) é
X_{rms}=\frac{X_m}{\sqrt{2}}.
Aqui X_m é a amplitude (o pico), \omega é a pulsação e \theta a fase. O motivo: poder médio corresponde ao produto de RMSs; por isso usamos RMS em potência.
Aplicando aos dados:
V_{rms}=\frac{240}{\sqrt{2}} \quad\text{e}\quad I_{rms}=\frac{6}{\sqrt{2}}.
Podemos simplificar esses produtos mais adiante; por ora mantemos as formas para clareza.

Passo 3

Agora escrevemos as fasores (notação com magnitude RMS e ângulo):
Definindo \tilde{V} como fasor da tensão e \tilde{I} como fasor da corrente:
\tilde{V}=V_{rms}\angle(-10^\circ)=\frac{240}{\sqrt{2}}\angle(-10^\circ)
\tilde{I}=I_{rms}\angle(20^\circ)=\frac{6}{\sqrt{2}}\angle(20^\circ)
Conceito: fasor representa a amplitude RMS e a fase relativa; para potência complexa usamos multiplicação entre a tensão fasorial e o conjugado da corrente fasorial.

Passo 4

Fórmula da potência complexa (mini-aula): a potência complexa \displaystyle S (medida em VA) é dada por
S=\tilde{V}\,\tilde{I}^*,
onde \tilde{I}^* é o conjugado complexo da fasor corrente. Usando magnitudes e ângulos, isso resulta em
S = V_{rms} I_{rms}\angle(\theta_V-\theta_I).
Aqui o módulo |S|=V_{rms}I_{rms} é a potência aparente (em VA) e o ângulo \varphi=\theta_V-\theta_I é o ângulo de potência (diferença de fase entre tensão e corrente). A parte real P=\Re(S) é a potência ativa e a parte imaginária Q=\Im(S) é a potência reativa.
Agora calculamos numericamente:
Produto das rms:
V_{rms}I_{rms}=\frac{240}{\sqrt{2}}\cdot\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{240\cdot 6}{2}=720\\ \text{VA}.
Ângulo:
\varphi=\theta_V-\theta_I=(-10^\circ)-(+20^\circ)=-30^\circ.
Portanto a potência complexa é
S=720\angle(-30^\circ)\\ \text{VA}.

Passo 5

Calculemos as partes ativa e reativa (para interpretar PF e se é indutiva/capacitiva).
Usamos as fórmulas:
P=|S|\cos\varphi,\qquad Q=|S|\sin\varphi.
Com |S|=720 e \varphi=-30^\circ:
P=720\cos(-30^\circ)=720\cos(30^\circ)=720\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=360\sqrt{3}\\ \text{W}.
Q=720\sin(-30^\circ)=720\cdot(-\tfrac{1}{2})=-360\\ \text{VAR}.
Interpretação: Q é negativo, logo a carga é de natureza capacitiva (a corrente está adiantada em relação à tensão).
O fator de potência (PF) é o cosseno do ângulo:
\text{PF}=\cos\varphi=\cos(-30^\circ)=\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866.
Como \varphi é negativo, o fator de potência é “leading” (adiantado), ou seja, PF = 0,866 (leading).

Passo 6

Agora determinamos os elementos que compõem uma carga ligada em série. Se a carga é série de um resistor R com um reatância X, a impedância é
Z=R+jX=\frac{\tilde{V}}{\tilde{I}}.
Vamos calcular \displaystyle Z=\frac{V_{rms}\angle(-10^\circ)}{I_{rms}\angle(20^\circ)}.
Magnitude e ângulo:
|Z|=\frac{V_{rms}}{I_{rms}}=\frac{\frac{240}{\sqrt{2}}}{\frac{6}{\sqrt{2}}}=\frac{240}{6}=40\\ \Omega,
\angle Z=(-10^\circ)-20^\circ=-30^\circ.
Então
Z=40\angle(-30^\circ)\\ \Omega.
Passando para forma retangular (R + jX):
R=40\cos(-30^\circ)=40\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}\\ \Omega,
X=40\sin(-30^\circ)=40\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-20\\ \Omega.
Comentário: X negativo confirma reatância capacitiva; em série temos um resistor R=20\sqrt{3}\\ \Omega e um capacitor com reatância |X_C|=20\\ \Omega.

Passo 7

Se quiser o valor do capacitor C em farads, usamos a relação para reatância capacitiva em regime senoidal:
X_C=-\frac{1}{\omega C},\quad\text{ou em módulo}\quad |X_C|=\frac{1}{\omega C}.ó
Aqui a pulsação \omega é obtida do termo \omega t nas funções: como temos 50\pi t, então
\omega=50\pi\\ \text{rad/s}.
Logo
C=\frac{1}{\omega|X_C|}=\frac{1}{(50\pi)\cdot 20}=\frac{1}{1000\pi}\\ \text{F}.
Em valor numérico:
C=\frac{1}{1000\pi}\\ \text{F}\approx 3{,}1831\times 10^{-4}\\ \text{F}=318{,}31\\ \mu\text{F}.

Resposta

S=720\angle(-30^\circ)\\ \text{VA} (ou |S|=720\\ \text{VA})
\text{PF}=0{,}866 (leading)
P=360\sqrt{3}\\ \text{W}
Q=-360\\ \text{VAR}
R=20\sqrt{3}\\ \Omega
X=-20\\ \Omega (reatância capacitiva)
C=\dfrac{1}{1000\pi}\\ \text{F}\approx 318{,}31\\ \mu\text{F}

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