Com uma carga axial de 22 kN , uma barra de polímero de 45 mm de largura e 15 mm de espessura alonga 3,0 \mathrm{~mm} enquanto a largura da barra contrai em 0,25 \mathrm{~mm}. A barra tem 200 mm de comprimento. Na carga de 22 kN , o estresse na barra de polímero é inferior ao seu limite proporcional. Determinar o coeficiente de Poisson e a mudança na espessura da barra.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o coeficiente de Poisson.
  • Determinar a mudança na espessura da barra.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
  • Carga axial: 22\\ \text{kN} (não será necessária para as contas de deformação porque o enunciado já dá as deformações).
  • Largura inicial: w=45\\ \text{mm}.
  • Espessura inicial: t=15\\ \text{mm}.
  • Comprimento inicial: L=200\\ \text{mm}.
  • Alongamento (variação do comprimento): \Delta L=3{,}0\\ \text{mm}.
  • Contração da largura: a largura contrai em 0{,}25\\ \text{mm}, ou seja \Delta w=-0{,}25\\ \text{mm} (sinal negativo indica contração).
  • Observação do enunciado: o esforço está abaixo do limite proporcional → podemos assumir comportamento elástico linear (relações lineares entre tensão e deformação) e material aproximadamente isotrópico (logo as deformações transversais são iguais nas duas direções transversais).

Passo 2

Definições e conceitos que vamos usar (aula rapidinha, estilo amigo):
  • Deformação axial (longitudinal) \varepsilon_{\text{long}} é a variação relativa do comprimento:
\varepsilon_{\text{long}}=\frac{\Delta L}{L}.
Aqui \Delta L é a mudança de comprimento e L é o comprimento inicial. Deformação positiva significa alongamento; negativa, encurtamento.
  • Deformação transversal (por exemplo, na largura) \varepsilon_{\text{trans}} é a variação relativa da dimensão lateral:
\varepsilon_{\text{trans}}=\frac{\Delta w}{w}.
  • Coeficiente de Poisson \nu é definido (para materiais lineares elásticos) como menos a razão entre a deformação transversal e a deformação longitudinal:
\nu = -\frac{\varepsilon_{\text{trans}}}{\varepsilon_{\text{long}}}.
O sinal negativo é só para que \nu seja positivo quando um corpo alonga longitudinalmente e contrai lateralmente (situação comum).
  • Para materiais isotrópicos sob tração uniaxial, a deformação na outra direção transversal (espessura) tem aproximadamente o mesmo valor de \varepsilon_{\text{trans}}. Isso nos permite calcular a variação de espessura por
\Delta t = \varepsilon_{\text{trans}}\; t.

Passo 3

Calcular a deformação longitudinal \varepsilon_{\text{long}}.
\varepsilon_{\text{long}}=\frac{\Delta L}{L}=\frac{3{,}0}{200}.
Fazendo a divisão:
\varepsilon_{\text{long}}=0{,}015.
Interpretação: isto é 1{,}5\% de alongamento.

Passo 4

Calcular a deformação transversal na largura \varepsilon_{\text{trans}}.
\varepsilon_{\text{trans}}=\frac{\Delta w}{w}=\frac{-0{,}25}{45}.
Simplificando a fração nota-se que 0{,}25/45 = 1/180, logo
\varepsilon_{\text{trans}}=-\frac{1}{180} \approx -0{,}005555\ldots
Interpretação: contração lateral de aproximadamente 0{,}5556\%.

Passo 5

Calcular o coeficiente de Poisson \nu usando a definição.
\nu = -\frac{\varepsilon_{\text{trans}}}{\varepsilon_{\text{long}}} = -\frac{-\tfrac{1}{180}}{0{,}015} = \frac{1/180}{0{,}015}.
Avalia a razão:
0{,}015=\frac{15}{1000}=\frac{15}{1000},\quad\text{então}\quad \nu=\frac{1}{180}\cdot\frac{1000}{15}=\frac{1000}{2700}=\frac{10}{27}\approx0{,}37037\ldotsã
Arredondando razoavelmente:
\nu \approx 0{,}370.
Comentário encorajador: valor bem típico para polímeros fica entre 0{,}3 e 0{,}5, então está coerente.

Passo 6

Calcular a mudança na espessura \Delta t. Pelo raciocínio de isotropia e linearidade, a deformação na espessura é igual à deformação transversal já calculada:
\Delta t = \varepsilon_{\text{trans}}\; t = \left(-\frac{1}{180}\right)\cdot 15.
Fazendo a conta:
\Delta t = -\frac{15}{180} = -\frac{1}{12} = -0{,}083333\ldots\\ \text{mm}.
Interpretação: a espessura diminui cerca de 0{,}0833\\ \text{mm}.

Resposta

\nu = 0{,}370
\Delta t = -0{,}0833\\ \text{mm}

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