Encontre a área delimitada por uma pétala de
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a área limitada por uma pétala da curva dada em coordenadas polares por
.
Informações dadas:
- A equação polar é
. - Quer-se a área correspondente a UMA pétala dessa curva (ou seja, a área do “lóbulo” entre dois pontos onde
).
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada): em coordenadas polares, a área
limitada por uma curva
entre
e
é dada por
Aqui:
-
é a distância do ponto na curva até a origem, como função do ângulo . -
e são os ângulos que marcam o início e fim da região cujo área se quer calcular.
Essa fórmula vem do somatório de pequenos setores circulares de raioe ângulo infinitesimal ; a área de cada setor é aproximadamente .
Passo 3
Precisamos determinar os limites
e
que correspondem a UMA pétala. As pétalas vão de um ponto em que
até o próximo ponto onde
.
Encontrar zeros:
.
Resolver :
Resolver
Os zeros consecutivos diferem por
, então cada pétala ocorre num intervalo de comprimento
.
A pétala centrada em
(onde
atinge o máximo
) está entre os zeros
e
. Usaremos esse intervalo porque é simétrico e simples.
Passo 4
Montar o integral da área para essa pétala:
Passo 5
Para integrar
usamos a identidade trigonométrica
Aqui
, então
Substituindo no integral:
Passo 6
Calcular o integral explicitamente. Uma primitiva de
é
. Assim:
Avaliar nos limites:
-
. -
.
Portanto o termo de seno desaparece e resta
Passo 7
Interpretação final rápida e ânimo: a área de uma pétala dessa rosa polar é
. Dá para ver que a simetria e a identidade trigonométrica simplificaram bastante a conta — dá tempo de decorar esse procedimento para a prova. Vai dar certo!