Encontre a área delimitada por uma pétala de r=3 \cos (4 \theta).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a área limitada por uma pétala da curva dada em coordenadas polares por r=3\cos(4\theta).
Informações dadas:
  • A equação polar é r=3\cos(4\theta).
  • Quer-se a área correspondente a UMA pétala dessa curva (ou seja, a área do “lóbulo” entre dois pontos onde r=0).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada): em coordenadas polares, a área A limitada por uma curva r(\theta) entre \theta=\alpha e \theta=\beta é dada por
A=\tfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^2\,d\theta.
Aqui:
  • r(\theta) é a distância do ponto na curva até a origem, como função do ângulo \theta.
  • \alpha e \beta são os ângulos que marcam o início e fim da região cujo área se quer calcular.
    Essa fórmula vem do somatório de pequenos setores circulares de raio r(\theta) e ângulo infinitesimal d\theta; a área de cada setor é aproximadamente \tfrac{1}{2}r^2\,d\theta.

Passo 3

Precisamos determinar os limites \alpha e \beta que correspondem a UMA pétala. As pétalas vão de um ponto em que r=0 até o próximo ponto onde r=0.
Encontrar zeros: r=0 \iff 3\cos(4\theta)=0 \iff \cos(4\theta)=0.
Resolver \cos(4\theta)=0:
4\theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi \quad\Rightarrow\quad \theta=\tfrac{\pi}{8}+k\tfrac{\pi}{4},\quad k\in\mathbb{Z}.
Os zeros consecutivos diferem por \tfrac{\pi}{4}, então cada pétala ocorre num intervalo de comprimento \tfrac{\pi}{4}.
A pétala centrada em \theta=0 (onde r atinge o máximo 3) está entre os zeros \theta=-\tfrac{\pi}{8} e \theta=\tfrac{\pi}{8}. Usaremos esse intervalo porque é simétrico e simples.

Passo 4

Montar o integral da área para essa pétala:
A=\tfrac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{8}}^{\tfrac{\pi}{8}} \bigl(3\cos(4\theta)\bigr)^2\,d\theta =\tfrac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{8}}^{\tfrac{\pi}{8}} 9\cos^2(4\theta)\,d\theta =\tfrac{9}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{8}}^{\tfrac{\pi}{8}} \cos^2(4\theta)\,d\theta.

Passo 5

Para integrar \cos^2(4\theta) usamos a identidade trigonométrica
\cos^2 u=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos(2u)\bigr).
Aqui u=4\theta, então
\cos^2(4\theta)=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos(8\theta)\bigr).
Substituindo no integral:
A=\tfrac{9}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{8}}^{\tfrac{\pi}{8}} \tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos(8\theta)\bigr)\,d\theta =\tfrac{9}{4}\int_{-\tfrac{\pi}{8}}^{\tfrac{\pi}{8}} \bigl(1+\cos(8\theta)\bigr)\,d\theta.

Passo 6

Calcular o integral explicitamente. Uma primitiva de 1+\cos(8\theta) é \theta+\tfrac{1}{8}\sin(8\theta). Assim:
A=\tfrac{9}{4}\Bigl[\theta+\tfrac{1}{8}\sin(8\theta)\Bigr]_{-\tfrac{\pi}{8}}^{\tfrac{\pi}{8}}.
Avaliar nos limites:
  • \sin\bigl(8\cdot\tfrac{\pi}{8}\bigr)=\sin(\pi)=0.
  • \sin\bigl(8\cdot(-\tfrac{\pi}{8})\bigr)=\sin(-\pi)=0.
Portanto o termo de seno desaparece e resta
A=\tfrac{9}{4}\Bigl(\tfrac{\pi}{8}-\bigl(-\tfrac{\pi}{8}\bigr)\Bigr) =\tfrac{9}{4}\cdot\tfrac{\pi}{4} =\tfrac{9\pi}{16}.

Passo 7

Interpretação final rápida e ânimo: a área de uma pétala dessa rosa polar é \tfrac{9\pi}{16}. Dá para ver que a simetria e a identidade trigonométrica simplificaram bastante a conta — dá tempo de decorar esse procedimento para a prova. Vai dar certo!

Resposta

\displaystyle \tfrac{9\pi}{16}

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