Mostre que a curva
\left\{\begin{array}{l}x=t^{2} \\\ y=t^{3}-4 t\end{array}\right.
cruza a si mesma no ponto (4,0). Calcule a área delimitada pelos laços.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A curva é dada parametricamente por
\begin{cases} x(t)=t^{2},\\[4pt] y(t)=t^{3}-4t. \end{cases}
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Mostrar que a curva cruza a si mesma no ponto (4,0).
    2. Calcular a área delimitada pelos laços (a região fechada gerada pela interseção).
As informações relevantes são as expressões de x(t) e y(t). A curva está parametrizada por t\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Mostrar que a curva cruza a si mesma em (4,0).
Para que a curva cruze a si mesma existe t_{1}\neq t_{2} tais que
x(t_{1})=x(t_{2})\quad\text{e}\quad y(t_{1})=y(t_{2}).
Como x(t)=t^{2}, a igualdade x(t_{1})=x(t_{2}) implica
t_{1}^{2}=t_{2}^{2}\quad\Rightarrow\quad t_{2}=\pm t_{1}.
Se t_{2}=t_{1} não há interseção com parâmetros distintos, então testamos t_{2}=-t_{1} com t_{1}\neq0.
Para t_{2}=-t_{1} temos
y(-t_{1}) = (-t_{1})^{3}-4(-t_{1}) = -t_{1}^{3}+4t_{1} = -\bigl(t_{1}^{3}-4t_{1}\bigr) = -y(t_{1}).
Portanto y(t_{1})=y(-t_{1}) só pode ocorrer quando y(t_{1})=0. Resolvendo
y(t)=t(t^{2}-4)=0 \quad\Rightarrow\quad t=0,\\ \pm2.
Para t=0 temos t_{2}=0 (igual), não serve para auto-interseção com parâmetros distintos. Para t_{1}=2 e t_{2}=-2 obtemos pontos distintos de parâmetro com mesmo ponto geométrico. Calculando as coordenadas:
x(2)=2^{2}=4,\qquad y(2)=2^{3}-4\cdot2=8-8=0.
Logo a curva passa por (4,0) para t=2 e para t=-2. Conclui-se que a curva cruza a si mesma no ponto (4,0), com parâmetros t=2 e t=-2.

Passo 3

Entender qual é a região fechada (o laço) cuja área se pede e como calculá-la.
Observações úteis:
  • Para cada x\ge 0 existem exatamente dois parâmetros \pm\sqrt{x} com x=t^{2}.
  • Para o ramo com t\ge0 temos t=\sqrt{x} e para o ramo com t\le0 temos t=-\sqrt{x}.
  • Podemos eliminar o parâmetro para expressar y em função de x nos dois ramos:
    • Para o ramo superior (correspondente a t\in[-2,0], isto é t\le0) tomamos t=-\sqrt{x} e obtemos y_{\text{sup}}(x)=(-\sqrt{x})^{3}-4(-\sqrt{x})=-x^{3/2}+4x^{1/2}=x^{1/2}(4-x).
    • Para o ramo inferior (correspondente a t\in[0,2], isto é t\ge0) tomamos t=+\sqrt{x} e obtemos y_{\text{inf}}(x)=x^{3/2}-4x^{1/2}=-x^{1/2}(4-x)=-y_{\text{sup}}(x).
  • O laço fechado ocorre quando t varia de -2 a 2: os pontos extremos do laço em x são x(0)=0 e x(\pm2)=4. Assim o laço corresponde ao conjunto de pontos com x entre 0 e 4, com as duas curvas y_{\text{sup}}(x) e y_{\text{inf}}(x) como fronteiras superior e inferior.
Método de cálculo da área (explicação didática):
  • Para uma região limitada verticalmente por duas funções y_{\text{sup}}(x) e y_{\text{inf}}(x) entre x=a e x=b, a área é
A=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{sup}}(x)-y_{\text{inf}}(x)\bigr)\,dx.
  • Aqui as duas funções são opostas, y_{\text{inf}}(x)=-y_{\text{sup}}(x), logo
y_{\text{sup}}(x)-y_{\text{inf}}(x)=2\,y_{\text{sup}}(x)=2x^{1/2}(4-x).
  • O intervalo em x é de 0 a 4. Assim
A=\int_{0}^{4}2x^{1/2}(4-x)\,dx.
(Observação alternativa: também se poderia usar a fórmula paramétrica de área fechada
A=\frac{1}{2}\oint\bigl(x\,dy-y\,dx\bigr),
substituindo x(t),y(t) e integrando em t sobre o laço t\in[-2,2]; o resultado será o mesmo. Vou calcular pelo método de integração em x, que é direto aqui.)

Passo 4

Calcular a integral passo a passo.
Escrevemos a área como
A=2\int_{0}^{4}x^{1/2}(4-x)\,dx =2\left(\int_{0}^{4}4x^{1/2}\,dx-\int_{0}^{4}x^{3/2}\,dx\right).
Calculemos cada integral separadamente.
  1. \displaystyle \int_{0}^{4}x^{1/2}\,dx. A primitiva de x^{1/2} é \dfrac{2}{3}x^{3/2}. Logo
\int_{0}^{4}4x^{1/2}\,dx =4\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_{0}^{4}=\frac{8}{3}\cdot 4^{3/2}.
Como 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8, isso dá
\int_{0}^{4}4x^{1/2}\,dx=\frac{8}{3}\cdot 8=\frac{64}{3}.
  1. \displaystyle \int_{0}^{4}x^{3/2}\,dx. A primitiva de x^{3/2} é \dfrac{2}{5}x^{5/2}. Então
\int_{0}^{4}x^{3/2}\,dx=\frac{2}{5}x^{5/2}\Big|_{0}^{4}=\frac{2}{5}\cdot 4^{5/2}.
Como 4^{5/2}=(\sqrt{4})^{5}=2^{5}=32, isso dá
\int_{0}^{4}x^{3/2}\,dx=\frac{2}{5}\cdot 32=\frac{64}{5}.
Agora montar a combinação:
A=2\left(\frac{64}{3}-\frac{64}{5}\right)=2\cdot 64\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) =128\left(\frac{5-3}{15}\right)=128\cdot\frac{2}{15}=\frac{256}{15}.

Passo 5

Breve verificação alternativa (opcional, para confiança): usar fórmula paramétrica.
A fórmula paramétrica para área de um laço percorrido por t\in[\alpha,\beta] é
A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\bigl(x(t)y'(t)-y(t)x'(t)\bigr)\,dt.
Aqui x'(t)=2t e y'(t)=3t^{2}-4. Substituindo:
x\,y'-y\,x' = t^{2}(3t^{2}-4)-(t^{3}-4t)(2t) = 3t^{4}-4t^{2}-2t^{4}+8t^{2}=t^{4}+4t^{2}.
Logo
A=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}\bigl(t^{4}+4t^{2}\bigr)\,dt.
Como o integrando é par, isso é igual a
A=\int_{0}^{2}\bigl(t^{4}+4t^{2}\bigr)\,dt =\left[\frac{t^{5}}{5}+\frac{4t^{3}}{3}\right]_{0}^{2} =\frac{32}{5}+\frac{32}{3} =32\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\right)=32\cdot\frac{8}{15}=\frac{256}{15},
mesmo resultado, confirmação.

Resposta

A curva cruza a si mesma em (4,0) nos parâmetros t=2 e t=-2.
A área delimitada pelos laços é \displaystyle \frac{256}{15}.

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