Mostre que a curva \left\{\begin{array}{l}x=t^{2} \\\ y=t^{3}-4 t\end{array}\right.
cruza a si mesma no ponto (4,0). Calcule a área delimitada pelos laços.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Para t=0 temos t_{2}=0 (igual), não serve para auto-interseção com parâmetros distintos. Para t_{1}=2 e t_{2}=-2 obtemos pontos distintos de parâmetro com mesmo ponto geométrico. Calculando as coordenadas:
x(2)=2^{2}=4,\qquad y(2)=2^{3}-4\cdot2=8-8=0.
Logo a curva passa por (4,0) para t=2 e para t=-2. Conclui-se que a curva cruza a si mesma no ponto (4,0), com parâmetros t=2 e t=-2.
Passo 3
Entender qual é a região fechada (o laço) cuja área se pede e como calculá-la.
Observações úteis:
Para cada x\ge 0 existem exatamente dois parâmetros \pm\sqrt{x} com x=t^{2}.
Para o ramo com t\ge0 temos t=\sqrt{x} e para o ramo com t\le0 temos t=-\sqrt{x}.
Podemos eliminar o parâmetro para expressar y em função de x nos dois ramos:
Para o ramo superior (correspondente a t\in[-2,0], isto é t\le0) tomamos t=-\sqrt{x} e obtemosy_{\text{sup}}(x)=(-\sqrt{x})^{3}-4(-\sqrt{x})=-x^{3/2}+4x^{1/2}=x^{1/2}(4-x).
Para o ramo inferior (correspondente a t\in[0,2], isto é t\ge0) tomamos t=+\sqrt{x} e obtemosy_{\text{inf}}(x)=x^{3/2}-4x^{1/2}=-x^{1/2}(4-x)=-y_{\text{sup}}(x).
O laço fechado ocorre quando t varia de -2 a 2: os pontos extremos do laço em x são x(0)=0 e x(\pm2)=4. Assim o laço corresponde ao conjunto de pontos com x entre 0 e 4, com as duas curvas y_{\text{sup}}(x) e y_{\text{inf}}(x) como fronteiras superior e inferior.
Método de cálculo da área (explicação didática):
Para uma região limitada verticalmente por duas funções y_{\text{sup}}(x) e y_{\text{inf}}(x) entre x=a e x=b, a área é
(Observação alternativa: também se poderia usar a fórmula paramétrica de área fechada
A=\frac{1}{2}\oint\bigl(x\,dy-y\,dx\bigr),
substituindo x(t),y(t) e integrando em t sobre o laço t\in[-2,2]; o resultado será o mesmo. Vou calcular pelo método de integração em x, que é direto aqui.)