Qual é a carga de um bastão retilíneo de comprimento l com densidade de carga \lambda=\lambda_{0}(1-x / l) e \lambda_{0} constante? ( x é a posição no bastão, com a extremidade esquerda em x=0.)

Passo 1

O enunciado dá um bastão retilíneo de comprimento l e uma densidade linear de carga dependente da posição x
\lambda(x)=\lambda_{0}\!\left(1-\frac{x}{l}\right),
onde \lambda_{0} é constante e x mede a posição ao longo do bastão com a extremidade esquerda em x=0.
O que se pede: calcular a carga total Q do bastão.

Passo 2

Conceito importante (aulas rápidas): a densidade linear de carga \lambda(x) é definida como a carga por unidade de comprimento em torno de x. Em termos diferenciais isso significa
\lambda(x)=\frac{dQ}{dx},
ou equivalentemente um pequeno pedaço de carga é dQ=\lambda(x)\,dx. Para obter a carga total soma-se (integra-se) todas essas contribuições infinitesimais ao longo do bastão, isto é
Q=\int_{0}^{l} dQ=\int_{0}^{l} \lambda(x)\,dx.
Essa integral representa a soma contínua das cargas dos pedaços dx.

Passo 3

Aplicando a expressão de \lambda(x) ao integral, obtemos a fórmula que vamos calcular:
Q=\int_{0}^{l} \lambda_{0}\!\left(1-\frac{x}{l}\right)\,dx.

Passo 4

Vamos integrar passo a passo. Primeiro fatoramos \lambda_{0} que é constante:
Q=\lambda_{0}\int_{0}^{l}\left(1-\frac{x}{l}\right)\,dx.
Agora separamos a integral em duas:
Q=\lambda_{0}\left(\int_{0}^{l}1\,dx-\int_{0}^{l}\frac{x}{l}\,dx\right).
Calcule cada termo:
\int_{0}^{l}1\,dx = \left[x\right]_{0}^{l}=l,
\int_{0}^{l}\frac{x}{l}\,dx = \frac{1}{l}\int_{0}^{l}x\,dx = \frac{1}{l}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{l}=\frac{1}{l}\cdot\frac{l^{2}}{2}=\frac{l}{2}.

Passo 5

Substituindo os resultados das integrais em Q:
Q=\lambda_{0}\left(l-\frac{l}{2}\right)=\lambda_{0}\cdot\frac{l}{2}=\frac{\lambda_{0}l}{2}.
Interpretação física curta e útil para a prova: a densidade varia linearmente de \lambda_{0} (em x=0) até 0 (em x=l), então a densidade média é \dfrac{\lambda_{0}+0}{2}=\dfrac{\lambda_{0}}{2}. Multiplicando essa densidade média pelo comprimento l obtém-se a mesma carga total \dfrac{\lambda_{0}l}{2}. Unidade da carga será coulomb (ou unidade coerente) caso \lambda_{0} esteja em coulomb por metro.

Resposta

\dfrac{\lambda_{0}l}{2}

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