Qual é a carga de um bastão retilíneo de comprimento
com densidade de carga
e
constante? (
é a posição no bastão, com a extremidade esquerda em
.)
Passo 1
O enunciado dá um bastão retilíneo de comprimento
e uma densidade linear de carga dependente da posição
onde
é constante e
mede a posição ao longo do bastão com a extremidade esquerda em
.
O que se pede: calcular a carga total do bastão.
O que se pede: calcular a carga total
Passo 2
Conceito importante (aulas rápidas): a densidade linear de carga
é definida como a carga por unidade de comprimento em torno de
. Em termos diferenciais isso significa
ou equivalentemente um pequeno pedaço de carga é
. Para obter a carga total soma-se (integra-se) todas essas contribuições infinitesimais ao longo do bastão, isto é
Essa integral representa a soma contínua das cargas dos pedaços
.
Passo 3
Aplicando a expressão de
ao integral, obtemos a fórmula que vamos calcular:
Passo 4
Vamos integrar passo a passo. Primeiro fatoramos
que é constante:
Agora separamos a integral em duas:
Calcule cada termo:
Passo 5
Substituindo os resultados das integrais em
:
Interpretação física curta e útil para a prova: a densidade varia linearmente de
(em
) até
(em
), então a densidade média é
. Multiplicando essa densidade média pelo comprimento
obtém-se a mesma carga total
. Unidade da carga será coulomb (ou unidade coerente) caso
esteja em coulomb por metro.