Encontre a carga contida na metade de um disco de raio R e densidade de carga \sigma=\sigma_{0}(r / R)^{2}, onde \sigma é uma constante e r é a distância ao centro do disco.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pede: encontrar a carga contida na metade de um disco de raio R cuja densidade superficial de carga depende de r e é dada por \sigma(r)=\sigma_{0}\bigl(\tfrac{r}{R}\bigr)^{2}.
  • Informações dadas:
    • Raio do disco: R.
    • Densidade superficial de carga: \sigma(r)=\sigma_{0}\bigl(\tfrac{r}{R}\bigr)^{2}, com \sigma_{0} constante.
    • “Metade do disco” significa exatamente a região do disco limitada por um semicírculo: ângulo de abertura \pi (por exemplo \theta\in[0,\pi] em coordenadas polares).
  • Objetivo matemático: calcular a carga total Q sobre essa metade do disco usando a relação entre densidade superficial e carga.

Passo 2

Conceito e escolha de coordenadas — por que usar coordenadas polares.
  • A densidade \sigma depende apenas da distância radial r ao centro, não do ângulo \theta. Quando um campo (ou densidade) tem simetria radial, coordenadas polares tornam a integral muito mais simples.
  • Fórmula básica: a carga total sobre uma superfície S com densidade superficial \sigma é
Q=\iint_{S}\sigma\,\mathrm{d}A,
onde \mathrm{d}A é o elemento de área.
  • Em coordenadas polares o elemento de área é
\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
  • Para a metade do disco os limites são r de 0 a R e \theta de 0 a \pi.

Passo 3

Montar a integral explícita com o integrando correto.
  • Substituindo \sigma(r)=\sigma_{0}\bigl(\tfrac{r}{R}\bigr)^{2} e \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta na fórmula de carga:
Q=\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{R}\sigma_{0}\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
  • Simplificar o integrando agrupando potências de r:
\left(\frac{r}{R}\right)^{2}r=\frac{r^{3}}{R^{2}}.
  • Assim
Q=\sigma_{0}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}\frac{r^{3}}{R^{2}}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 4

Calcular a integral em r.
  • A integral em r é
\int_{0}^{R} \frac{r^{3}}{R^{2}}\,\mathrm{d}r = \frac{1}{R^{2}}\int_{0}^{R} r^{3}\,\mathrm{d}r.
  • Usar a primitiva de r^{3}: \int r^{3}\,\mathrm{d}r=\tfrac{r^{4}}{4}. Avaliando de 0 a R obtemos
\int_{0}^{R} r^{3}\,\mathrm{d}r = \frac{R^{4}}{4}.
  • Logo
\int_{0}^{R} \frac{r^{3}}{R^{2}}\,\mathrm{d}r = \frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{2}}{4}.

Passo 5

Calcular a integral em \theta e reunir o resultado.
  • Substituindo o resultado da integral em r na integral total:
Q=\sigma_{0}\int_{0}^{\pi} \frac{R^{2}}{4}\,\mathrm{d}\theta = \sigma_{0}\frac{R^{2}}{4}\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\theta.
  • A integral de \mathrm{d}\theta de 0 a \pi vale \pi. Portanto
Q=\sigma_{0}\frac{R^{2}}{4}\cdot\pi = \frac{\pi\,\sigma_{0}\,R^{2}}{4}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem por consistência (opcional, para fixar a ideia).
  • Se fosse o disco inteiro (ângulo 2\pi) a carga seria o dobro:
Q_{\text{total}}=2\cdot\frac{\pi\,\sigma_{0}\,R^{2}}{4}=\frac{\pi\,\sigma_{0}\,R^{2}}{2},
o que faz sentido: densidade cresce com r^{2} então a maior contribuição vem das regiões externas, e a escala com R^{2} é natural para uma carga superficial com essa dependência radial.

Resposta

\dfrac{\pi\,\sigma_{0}\,R^{2}}{4}

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