Encontre a carga contida na metade de um disco de raio
e densidade de carga
, onde
é uma constante e
é a distância ao centro do disco.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos.
- Pede: encontrar a carga contida na metade de um disco de raio
cuja densidade superficial de carga depende de e é dada por . - Informações dadas:
- Raio do disco:
. - Densidade superficial de carga:
, com constante. - “Metade do disco” significa exatamente a região do disco limitada por um semicírculo: ângulo de abertura
(por exemplo em coordenadas polares).
- Raio do disco:
- Objetivo matemático: calcular a carga total
sobre essa metade do disco usando a relação entre densidade superficial e carga.
Passo 2
Conceito e escolha de coordenadas — por que usar coordenadas polares.
- A densidade
depende apenas da distância radial ao centro, não do ângulo . Quando um campo (ou densidade) tem simetria radial, coordenadas polares tornam a integral muito mais simples. - Fórmula básica: a carga total sobre uma superfície
com densidade superficial é
onde
é o elemento de área.
- Em coordenadas polares o elemento de área é
- Para a metade do disco os limites são
de a e de a .
Passo 3
Montar a integral explícita com o integrando correto.
- Substituindo
e na fórmula de carga:
- Simplificar o integrando agrupando potências de
:
- Assim
Passo 4
Calcular a integral em
.
- A integral em
é
- Usar a primitiva de
: . Avaliando de a obtemos
- Logo
Passo 5
Calcular a integral em
e reunir o resultado.
- Substituindo o resultado da integral em
na integral total:
- A integral de
de a vale . Portanto
Passo 6
Interpretação rápida e checagem por consistência (opcional, para fixar a ideia).
- Se fosse o disco inteiro (ângulo
) a carga seria o dobro:
o que faz sentido: densidade cresce com
então a maior contribuição vem das regiões externas, e a escala com
é natural para uma carga superficial com essa dependência radial.