Uma carga
está localizada no ponto
e uma carga - está localizada no ponto
. Determine o campo elétrico nos pontos (vi)
. Calcule a força eletrostática sobre uma carga teste
quando está é colocada nos pontos descritos acima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem duas cargas elétricas: uma carga positiva $ +e $ está no ponto $ \left(-\frac{a}{2}, 0\right) $ e uma carga negativa $ -e $ está no ponto $ \left(\frac{a}{2}, 0\right) $. Queremos descobrir qual é o campo elétrico no ponto $ (a, a) $ e depois calcular a força que uma carga teste $ q $ sentiria nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de campo elétrico e a Lei de Coulomb.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico $ \vec{E} $ criado por uma carga $ Q $ em um ponto do espaço é dado por:
onde:
- $ k_e $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $),
- $ Q $ é a carga,
- $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo,
- $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{r} $.
Vamos calcular o campo elétrico no ponto $ (a, a) $ devido a cada uma das cargas.
Passo 3
Campo elétrico devido à carga $ +e $:
A distância entre $ \left(-\frac{a}{2}, 0\right) $ e $ (a, a) $ é dada por:
O campo elétrico $ \vec{E}_1 $ criado por $ +e $ no ponto $ (a, a) $ é:
A direção de $ \vec{E}_1 $ é afastando-se da carga positiva, ou seja, apontando desde $ \left(-\frac{a}{2}, 0\right) $ até $ (a, a) $. O ângulo dessa direção em relação ao eixo x é:
Então, os componentes de $ \vec{E}_1 $ são:
Campo elétrico devido à carga $ -e $:
A distância entre $ \left(\frac{a}{2}, 0\right) $ e $ (a, a) $ é:
O campo elétrico $ \vec{E}_2 $ criado por $ -e $ no ponto $ (a, a) $ é:
A direção de $ \vec{E}_2 $ é em direção à carga negativa, ou seja, apontando de $ (a, a) $ para $ \left(\frac{a}{2}, 0\right) $. O ângulo dessa direção em relação ao eixo x é:
Então, os componentes de $ \vec{E}_2 $ são:
Passo 4
Agora, vamos somar os dois campos elétricos vetorialmente para obter o campo total $ \vec{E}_{total} $ no ponto $ (a, a) $:
Para simplificar, podemos fatorar $ \frac{k_e e}{a^2} $ em ambos:
Passo 5
Finalmente, para encontrar a força eletrostática $ \vec{F} $ sobre a carga teste $ q $ no ponto $ (a, a) $, usamos a relação:
Substituindo o campo elétrico que calculamos:
Resposta
O campo elétrico no ponto $ (a, a) $ é dado por:
E a força eletrostática sobre a carga teste $ q $ colocada nesse ponto é:
Essas expressões fornecem o campo elétrico e a força sobre a carga teste no ponto especificado, considerando as contribuições das duas cargas presentes.