Uma carga +e está localizada no ponto (-a2, 0) e uma carga - e está localizada no ponto (a2, 0).
Determine o campo elétrico no ponto (0,-a). Calcule a força eletrostática sobre uma carga teste q quando está é colocada no ponto (0,-a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de campo elétrico e força eletrostática. Temos duas cargas elétricas: uma positiva (+e) posicionada no ponto (-a2, 0) e uma negativa (-e) no ponto (a2, 0). Nosso objetivo é:
  1. Determinar o campo elétrico no ponto (0,-a).
  2. Calcular a força eletrostática sobre uma carga teste q colocada nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb e saber como calcular o campo elétrico gerado por cargas pontuais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as posições das cargas e o ponto onde queremos calcular o campo elétrico. Imagine o eixo cartesiano:
  • A carga +e está em (-a2, 0), ou seja, à esquerda da origem.
  • A carga -e está em (a2, 0), à direita da origem.
  • O ponto de interesse é (0,-a), que está abaixo da origem no eixo y.
Vamos desenhar um diagrama mental para visualizar melhor.

Passo 3

Agora, vamos entender como o campo elétrico funciona. O campo elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
E = ke , qr^2 r
Onde:
  • ke é a constante eletrostática ( ke = 8,99 times 10^9 , N·m²/C²²²).
  • q é a carga.
  • r é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo.
  • r é o vetor unitário na direção de r (da carga para o ponto, se a carga for positiva; do ponto para a carga, se for negativa).

Passo 4

Vamos calcular a distância de cada carga até o ponto (0,-a). Usando o teorema de Pitágoras, a distância r é:
r = raiz(a2)^2 + a^2 = raiza^24 + a^2 = raiz5a^24 = araiz52
Então, a distância de cada carga até o ponto é araiz52.

Passo 5

Vamos agora calcular o campo elétrico gerado por cada carga no ponto (0,-a).
  • Campo elétrico da carga +e ( E1):
    A carga +e gera um campo que aponta para longe dela. Então, a direção do campo elétrico E1 será do ponto (-a2, 0) até (0,-a).
  • Campo elétrico da carga -e ( E2):
    A carga -e gera um campo que aponta em direção à carga. Então, a direção do campo elétrico E2 será de (0,-a) até (a2, 0).

Passo 6

Vamos decompor os campos elétricos em componentes x e y.
Para E1:
  • O ângulo theta que o vetor forma com o eixo x é tal que tantheta = aa2 = 2, então theta = arctan(2).
  • As componentes:
    • E1x = E1 costheta
    • E1y = E1 sintheta
Para E2:
  • O ângulo é simétrico, então theta = arctan(2).
  • As componentes:
    • E2x = E2 costheta
    • E2y = E2 sintheta

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor de E1 e E2 usando a fórmula do campo elétrico:
E = ke , qr^2 = 8,99 times 10^9 cdot e(araiz52)^2 = 8,99 times 10^9 cdot e5a^24 = 4 cdot 8,99 times 10^9 cdot e5a^2 = 35,96 times 10^9 cdot e5a^2 = 7,192 times 10^9 cdot ea^2
Então, E1 = E2 = 7,192 times 10^9 cdot ea^2.

Passo 8

Calculando as componentes dos campos:
Para E1:
E1x = 7,192 times 10^9 cdot ea^2 cdot cos(arctan(2)) = 7,192 times 10^9 cdot ea^2 cdot 1raiz1 + 2^2 = 7,192 times 10^9 cdot ea^2 cdot 1raiz5 = 7,192 times 10^9 cdot ea^2 raiz5
E1y = 7,192 times 10^9 cdot ea^2 cdot sin(arctan(2)) = 7,192 times 10^9 cdot ea^2 cdot 2raiz5 = 14,384 times 10^9 cdot ea^2 raiz5
Para E2 (perceba que o E2x será na direção oposta a E1x):
E2x = -7,192 times 10^9 cdot ea^2 raiz5
E2y = 14,384 times 10^9 cdot ea^2 raiz5

Passo 9

Agora, somamos as componentes dos campos elétricos:
  • Componente x:
Ex = E1x + E2x = 7,192 times 10^9 cdot ea^2 raiz5 - 7,192 times 10^9 cdot ea^2 raiz5 = 0
  • Componente y:
Ey = E1y + E2y = 14,384 times 10^9 cdot ea^2 raiz5 + 14,384 times 10^9 cdot ea^2 raiz5 = 28,768 times 10^9 cdot ea^2 raiz5

Passo 10

Então, o campo elétrico total no ponto (0,-a) é:
E = 0 i + 28,768 times 10^9 cdot ea^2 raiz5 j = 28,768 times 10^9 cdot ea^2 raiz5 j

Passo 11

Agora, vamos calcular a força eletrostática sobre uma carga teste q colocada nesse ponto. A força elétrica é dada por:
F = q E
Substituindo o valor do campo elétrico que encontramos:
F = q cdot 28,768 times 10^9 cdot ea^2 raiz5 j = 28,768 times 10^9 cdot q ea^2 raiz5 j

Resposta

O campo elétrico no ponto (0,-a) é:
E = 28,768 times 10^9 cdot ea^2 raiz5 j , N/C
E a força eletrostática sobre uma carga teste q nesse ponto é:
F = 28,768 times 10^9 cdot q ea^2 raiz5 j , N

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