Uma carga eletrica é distribuida sobre um disco x2+y2=9 de modo que a densidade de carga em (x, y) seja (x, y)=-y+x2+y2. Sabendo disso determine a carga total no disco, medida em coloumbs por metro quadrado
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos uma carga elétrica distribuída sobre um disco definido pela equação $ x^2 + y^2 = 9 $. A densidade de carga na posição
é dada por $ \sigma(x, y) = -y + x^2 + y^2 $. Nosso objetivo é determinar a carga total no disco, medida em coulombs.
Para resolver esse problema, vamos precisar calcular uma integral dupla sobre a área do disco, utilizando conceitos de cálculo em coordenadas polares, já que a simetria do disco facilita esses cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a densidade de carga $ \sigma(x, y) $ em coordenadas polares. Sabemos que:
E o elemento de área em coordenadas polares é:
Substituindo $ x $ e $ y $ na expressão de $ \sigma $:
Como $ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 $, então:
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral para a carga total $ Q $:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 4
Vamos primeiro integrar em relação a $ r $:
Portanto, a integral se torna:
Passo 5
Agora, integraremos em relação a $ \theta $:
Portanto, $ Q = \frac{81}{2} \pi - 0 = \frac{81}{2} \pi $.
Resposta
A carga total no disco é $ Q = \frac{81}{2} \pi $ coulombs.