Uma carga eletrica é distribuida sobre um disco x2+y2=9 de modo que a densidade de carga em (x, y) seja (x, y)=-y+x2+y2. Sabendo disso determine a carga total no disco, medida em coloumbs por metro quadrado

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma carga elétrica distribuída sobre um disco definido pela equação $ x^2 + y^2 = 9 $. A densidade de carga na posição x^2 + y^2 = 9 é dada por $ \sigma(x, y) = -y + x^2 + y^2 $. Nosso objetivo é determinar a carga total no disco, medida em coulombs.
Para resolver esse problema, vamos precisar calcular uma integral dupla sobre a área do disco, utilizando conceitos de cálculo em coordenadas polares, já que a simetria do disco facilita esses cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a densidade de carga $ \sigma(x, y) $ em coordenadas polares. Sabemos que:
sigma(x, y)
x = r costheta
E o elemento de área em coordenadas polares é:
y = r sintheta
Substituindo $ x $ e $ y $ na expressão de $ \sigma $:
dA = r , dr , dtheta
x
y
Como $ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 $, então:
sigma

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral para a carga total $ Q $:
Q
Simplificando a expressão dentro da integral:
Q = integral dupladisco sigma(x, y) , dA = integral0^2pi integral0^3 (r^2 - r sintheta) cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Vamos primeiro integrar em relação a $ r $:
r
integral0^3 r^3 , dr = [ r^44 ]0^3 = 814
Portanto, a integral se torna:
integral0^3 r^2 , dr = [ r^33 ]0^3 = 273 = 9

Passo 5

Agora, integraremos em relação a $ \theta $:
theta
integral0^2pi 814 , dtheta = 814 cdot 2pi = 812 pi
Portanto, $ Q = \frac{81}{2} \pi - 0 = \frac{81}{2} \pi $.

Resposta

A carga total no disco é $ Q = \frac{81}{2} \pi $ coulombs.

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