Uma carga equilibrada em \Delta, com impedâncias de 7,8 \mathrm{~L}-69,9^{\circ} \Omega, e uma carga ligada em Y são supridas pelo mesmo sistema ABC , tendo \mathrm{V}_{\mathrm{CA}}= 341,4\left\llcorner-40^{\circ}\right. V. Se \mathrm{I}_{\mathrm{B}}=80,488\left\llcorner-133,40^{\circ}\right. A, quais são as impedâncias da carga ligada em Y?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as impedâncias da carga ligada em Y (impedância por fase) sabendo que:
  • Há uma carga equilibrada em \Delta com impedância por ramo \,Z_{\Delta}=7,8\angle-69,9^\circ\\ \Omega.
  • Há uma carga em Y (desconhecida, presumivelmente equilibrada) ligada ao mesmo sistema trifásico.
  • A tensão entre as fases C e A é \,V_{CA}=341,4\angle-40^\circ\\ \text{V}. (isto é uma tensão linha-linha).
  • A corrente de linha na fase B (corrente total fornecida pelo sistema na fase B) é \,I_B=80,488\angle-133,40^\circ\\ \text{A}.
O que precisamos encontrar explicitamente:
  • A impedância por fase da carga em Y, Z_{Y,\text{fase}} (podemos dar em forma polar e retangular).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Z_{\Delta}=7,8\angle-69,9^\circ\\ \Omega.
  • V_{CA}=341,4\angle-40^\circ\\ \text{V}.
  • I_B^{\text{(total)}}=80,488\angle-133,40^\circ\\ \text{A}.
A partir daqui vamos:
  • calcular a tensão de fase em B (tensão fase-neutro V_{BN});
  • calcular as correntes dos ramos do \Delta (usando tensões linha-linha) e a contribuição ao corrente de linha I_B vinda do \Delta;
  • subtrair essa contribuição do \Delta da corrente total I_B para obter a corrente que alimenta a fase B da carga em Y;
  • usar Z_{Y,\text{fase}} = V_{BN}/I_{B,\text{Y}}.

Passo 2

Primeiro: encontrar a tensão fase-neutro em B, V_{BN}.
Para um sistema trifásico equilibrado (sequência positiva ABC) vale a relação entre tensão linha-linha e tensão de fase:
V_{CA}=\sqrt{3}\,V_{\text{ph}}\angle(\theta+150^\circ)
onde V_{\text{ph}}\angle\theta é, por exemplo, V_{AN}. A partir daí obtemos a tensão de fase em B (que é V_{BN}) diretamente por uma relação de ângulos: de fato resulta que
\angle V_{BN}=\angle V_{CA}+90^\circ, \qquad |V_{BN}|=\frac{|V_{CA}|}{\sqrt{3}}.
Aplicando os valores dados:
|V_{BN}|=\frac{341,4}{\sqrt{3}}= \frac{341,4}{1,73205}\approx197,164\\ \text{V},
\angle V_{BN}=-40^\circ+90^\circ=50^\circ.
Logo
V_{BN}=197,164\angle50^\circ\\ \text{V}.
(Comentário curto: usei a relação geométrica padrão entre tensões de linha e de fase em sistema equilibrado; a dedução formal dá exatamente o deslocamento de +90^\circ na relação entre \angle V_{CA} e \angle V_{BN}.)

Passo 3

Calcular as correntes dos ramos do \Delta. Em \Delta cada ramo vê a tensão de linha entre as duas fases que liga. Vamos obter as três tensões linha-linha a partir de V_{CA}:
Para um sistema equilibrado vale:
V_{AB}=V_{CA}\angle-120^\circ,\qquad V_{BC}=V_{CA}\angle+120^\circ,\qquad V_{CA}=V_{CA}.
Com V_{CA}=341,4\angle-40^\circ obtemos
V_{AB}=341,4\angle(-40^\circ-120^\circ)=341,4\angle-160^\circ,
V_{BC}=341,4\angle(-40^\circ+120^\circ)=341,4\angle80^\circ,
V_{CA}=341,4\angle-40^\circ.
As correntes nos ramos do \Delta são
I_{AB}=\frac{V_{AB}}{Z_{\Delta}},\qquad I_{BC}=\frac{V_{BC}}{Z_{\Delta}},\qquad I_{CA}=\frac{V_{CA}}{Z_{\Delta}}.
Substituindo Z_{\Delta}=7,8\angle-69,9^\circ:
\frac{341,4}{7,8}=43,76923077\\ (\text{valor comum das magnitudes}).
Ângulos:
\angle I_{AB}=-160^\circ-(-69,9^\circ)=-90,1^\circ,
\angle I_{BC}=80^\circ-(-69,9^\circ)=149,9^\circ,
\angle I_{CA}=-40^\circ-(-69,9^\circ)=29,9^\circ.
Portanto numericamente:
I_{AB}=43,769\angle-90,1^\circ\\ \text{A}, \quad I_{BC}=43,769\angle149,9^\circ\\ \text{A}, \quad I_{CA}=43,769\angle29,9^\circ\\ \text{A}.

Passo 4

Determinar a contribuição do \Delta à corrente de linha em B.
Regra de KCL e convenções de sinais (usadas aqui):
  • O corrente de linha em B resultante do \Delta é
I_{B}^{(\Delta)}=I_{BC}-I_{AB},
porque I_{BC} é a corrente no ramo B\to C e I_{AB} é a corrente no ramo A\to B (assim a soma algébrica dá a corrente líquida que sai do nó B para alimentar os ramos do \Delta).
Já temos I_{BC} e I_{AB}. Vamos calcular I_{B}^{(\Delta)} fazendo a subtração vetorial (conversão para forma rectangular e depois retorno a polar).
Cálculo (valores com precisão adequada):
  • I_{AB}=43,769\angle-90,1^\circ \approx -0{,}0764 - j\,43{,}7692\\ \text{A}.
  • I_{BC}=43,769\angle149,9^\circ \approx -37{,}8710 + j\,21{,}9441\\ \text{A}.
Subtraindo:
I_{B}^{(\Delta)}=I_{BC}-I_{AB}\approx(-37{,}8710+ j\,21{,}9441)-(-0{,}0764 - j\,43{,}7692)
\quad\approx -37{,}7946 + j\,65{,}7133\\ \text{A}.
Converter para forma polar:
|I_{B}^{(\Delta)}|\approx75{,}826\\ \text{A},\qquad \angle I_{B}^{(\Delta)}\approx119{,}900^\circ,
ou seja
I_{B}^{(\Delta)}=75{,}826\angle119{,}900^\circ\\ \text{A}.
(Observação: esse valor é a contribuição da carga em \Delta para a corrente de linha B.)

Passo 5

Obter a corrente que atravessa a fase B da carga em Y.
A corrente total de linha fornecida pelo sistema na fase B é a soma da corrente que alimenta a fase B da carga em Y mais a contribuição do \Delta:
I_{B}^{(\text{total})}=I_{B}^{(\Delta)}+I_{B}^{(Y)}.
Daqui:
I_{B}^{(Y)}=I_{B}^{(\text{total})}-I_{B}^{(\Delta)}.
Substituindo numericamente (converta para retangular para subtrair com segurança):
Corrente total dada:
I_{B}^{(\text{total})}=80{,}488\angle-133{,}40^\circ \approx -55{,}3167 - j\,58{,}5048\\ \text{A}.
I_{B}^{(\Delta)}\approx -37{,}7946 + j\,65{,}7133\\ \text{A}.
Então
I_{B}^{(Y)}\approx(-55{,}3167 - j\,58{,}5048)-(-37{,}7946 + j\,65{,}7133)
\quad\approx -17{,}5221 - j\,124{,}2181\\ \text{A}.
Converter para polar:
|I_{B}^{(Y)}|\approx125{,}441\\ \text{A},\qquad \angle I_{B}^{(Y)}\approx-98{,}045^\circ.
Portanto
I_{B}^{(Y)}=125{,}441\angle-98{,}045^\circ\\ \text{A}.
(Observação: em ligação Y a corrente de fase é igual à corrente de linha, logo este I_{B}^{(Y)} é exatamente a corrente da fase B da carga Y.)

Passo 6

Calcular a impedância por fase da carga em Y usando a definição de impedância (forma complexa):
Z_{Y,\text{fase}}=\frac{V_{BN}}{I_{B}^{(Y)}}.
Já temos
V_{BN}=197{,}164\angle50^\circ\\ \text{V}, \qquad I_{B}^{(Y)}=125{,}441\angle-98{,}045^\circ\\ \text{A}.
Dividindo em forma polar:
|Z_{Y,\text{fase}}|=\frac{197{,}164}{125{,}441}\approx1{,}5725,
\angle Z_{Y,\text{fase}}=50^\circ-(-98{,}045^\circ)=148{,}045^\circ.
Logo em forma polar:
Z_{Y,\text{fase}}=1{,}5725\angle148{,}045^\circ\\ \Omega.
Convertendo para forma retangular (com j como unidade imaginária):
Z_{Y,\text{fase}}=1{,}5725\cos148{,}045^\circ + j\,1{,}5725\sin148{,}045^\circ
\quad\approx -1{,}333 + j\,0{,}833\\ \Omega.
(Aqui está o valor numérico final da impedância por fase da carga em Y.)

Resposta

Z_{Y,\text{fase}}=1,5725\angle148,045^\circ\\ \Omega
Z_{Y,\text{fase}}=-1,333 + j\,0,833\\ \Omega

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