Uma carga equilibrada ligada em Y tendo impedâncias de 37\left\llcorner 50^{\circ} \Omega\right. e uma carga desequilibrada ligada em \Delta com impedâncias de \mathrm{z}_{\mathrm{AB}}=13\left\llcorner-25^{\circ}\right. \Omega, \mathrm{z}_{\mathrm{CA}}=21+\mathrm{j} 12 \Omega \mathrm{z}_{\mathrm{BC}}=21 \mathrm{~L}+35^{\circ} \Omega são alimentadas pelo mesmo sistema trifásico ABC com \mathrm{V}_{\mathrm{CN}}=180 \mathrm{~L}-85^{\circ} \mathrm{V}. Obter as correntes de linha que alimenta as duas cargas.

Passo 1

O enunciado dá as duas cargas (ligadas ao mesmo sistema trifásico ABC) e a tensão de fase conhecida; pede as correntes de linha que alimentam cada carga. Lista clara dos dados e do que é pedido:
  • Tensão fase-neutro fornecida (peguei do enunciado): \displaystyle V_{CN}=180\angle -85^\circ\\ \text{V}.
  • Sequência do sistema: \text{ABC} (sequência positiva).
  • Carga balanceada ligada em Y: impedância por fase \displaystyle Z_Y=37\angle 50^\circ\\ \Omega (mesma para cada fase).
  • Carga desequilibrada ligada em \Delta: impedâncias de fase (ramos do triângulo) dadas como
    • \displaystyle z_{AB}=13\angle -25^\circ\\ \Omega,
    • \displaystyle z_{CA}=21+\mathrm{j}\,12\\ \Omega (vou converter para forma polar),
    • \displaystyle z_{BC}=21\angle 35^\circ\\ \Omega.
  • O que se pede: as correntes de linha que alimentam cada uma das cargas. Ou seja:
    • Correntes de linha da carga Y: \displaystyle I_{A}^{(Y)},I_{B}^{(Y)},I_{C}^{(Y)}.
    • Correntes de linha da carga \Delta: \displaystyle I_{A}^{(\Delta)},I_{B}^{(\Delta)},I_{C}^{(\Delta)}.
Não há figura extra; os dados numéricos acima são os que usarei.

Passo 2

Primeiro passo técnico importante: determinar as tensões de fase V_{AN},V_{BN},V_{CN} (fase-neutro) para as três fases, partindo de \displaystyle V_{CN} e sabendo que a sequência é ABC.
Explicação didática curta: em sequência positiva ABC temos as fases defasadas de 120^\circ no sentido A → B → C, isto é
V_A \text{ \,lead\, } V_B \text{ \,lead\, } V_C
com ângulos típicos V_{AN}=\theta,\;V_{BN}=\theta-120^\circ,\;V_{CN}=\theta+120^\circ. Invertendo, se conhecemos V_{CN} então
V_{AN}=V_{CN}-120^\circ,\qquad V_{BN}=V_{CN}-240^\circ.
Aplicando ao dado \displaystyle V_{CN}=180\angle -85^\circ:
\begin{aligned} V_{AN}&=180\angle(-85^\circ-120^\circ)=180\angle -205^\circ=180\angle 155^\circ,\\[4pt] V_{BN}&=180\angle(-85^\circ-240^\circ)=180\angle -325^\circ=180\angle 35^\circ,\\[4pt] V_{CN}&=180\angle -85^\circ\quad\text{(dado).} \end{aligned}
Observação: transformei ângulos adicionando 360^\circ quando convinha para ficar em (-180^\circ,180^\circ].]

Passo 3

Correntes da carga balanceada em Y.
Teoria usada (explicada): para uma carga em estrela (Y) balanceada, cada corrente de fase é simplesmente a tensão de fase dividida pela impedância de fase:
I_{phase}=\frac{V_{phase}}{Z_{phase}}.
Aqui a impedância por fase é \displaystyle Z_Y=37\angle 50^\circ\\ \Omega. Então:
Calculemos cada corrente (faço divisão de fasores em forma polar: |I|=\dfrac{|V|}{|Z|} e \angle I=\angle V-\angle Z):
\begin{aligned} I_{A}^{(Y)}&=\frac{V_{AN}}{Z_Y}=\frac{180\angle 155^\circ}{37\angle 50^\circ} = \frac{180}{37}\angle(155^\circ-50^\circ) =4{,}865\angle 105^\circ\\ \text{A},\\[4pt] I_{B}^{(Y)}&=\frac{V_{BN}}{Z_Y}=\frac{180\angle 35^\circ}{37\angle 50^\circ} =4{,}865\angle(35^\circ-50^\circ) =4{,}865\angle -15^\circ\\ \text{A},\\[4pt] I_{C}^{(Y)}&=\frac{V_{CN}}{Z_Y}=\frac{180\angle -85^\circ}{37\angle 50^\circ} =4{,}865\angle(-85^\circ-50^\circ) =4{,}865\angle -135^\circ\\ \text{A}. \end{aligned}
Comentário curto: as magnitudes são iguais (carga balanceada) e as fases estão defasadas de 120^\circ entre si (verifique 105^\circ-(-15^\circ)=120^\circ, etc.).]

Passo 4

Preparar dados e conversões para a carga \Delta.
  • Converter \displaystyle z_{CA}=21+\mathrm{j}\,12 para forma polar: |z_{CA}|=\sqrt{21^2+12^2}=\sqrt{441+144}=\sqrt{585}=24{,}187\\ \Omega,
\angle z_{CA}=\arctan\!\left(\frac{12}{21}\right)=29{,}74^\circ.
Logo \displaystyle z_{CA}=24{,}187\angle 29{,}74^\circ\\ \Omega.
  • Já temos \displaystyle z_{AB}=13\angle -25^\circ\\ \Omega e \displaystyle z_{BC}=21\angle 35^\circ\\ \Omega.
  • Precisamos das tensões entre fases (tensões linha a linha) que alimentam os ramos do \Delta. Para um triângulo:
    V_{AB}=V_{AN}-V_{BN},\qquad V_{BC}=V_{BN}-V_{CN},\qquad V_{CA}=V_{CN}-V_{AN}.
Vou calcular cada V_{XY} usando as formas polares já obtidas. É útil lembrar que |V_{AB}|=\sqrt{3}\,|V_{AN}| para tensão simétrica; aqui |V_{AN}|=180 V, portanto |V_{AB}|\approx 311{,}77 V. Para precisão de cálculo usarei essa relação e os ângulos por diferença:
\begin{aligned} V_{AB}&=180\angle 155^\circ - 180\angle 35^\circ \;\Rightarrow\; |V_{AB}|=311{,}73\angle -175^\circ,\\[4pt] V_{BC}&=180\angle 35^\circ - 180\angle -85^\circ \;\Rightarrow\; |V_{BC}|=311{,}73\angle 65^\circ,\\[4pt] V_{CA}&=180\angle -85^\circ - 180\angle 155^\circ \;\Rightarrow\; |V_{CA}|=311{,}73\angle -55^\circ. \end{aligned}
(Dica: os ângulos aparecem como diferenças das fases; estes valores foram obtidos pela subtração das fases já calculadas no Passo 2 e conferem com \sqrt{3}\cdot 180.)]

Passo 5

Correntes nos ramos do \Delta (correntes de cada impedância do triângulo).
Teoria usada: em cada ramo do delta a corrente é a tensão entre as duas fases que conectam esse ramo dividida pela impedância do ramo:
I_{AB}=\frac{V_{AB}}{z_{AB}},\quad I_{BC}=\frac{V_{BC}}{z_{BC}},\quad I_{CA}=\frac{V_{CA}}{z_{CA}}.
Faço as divisões em forma polar (módulo razão e diferença de ângulos):
\begin{aligned} I_{AB}&=\frac{311{,}73\angle -175^\circ}{13\angle -25^\circ} =\frac{311{,}73}{13}\angle(-175^\circ-(-25^\circ)) =23{,}979\angle -150^\circ\\ \text{A},\\[4pt] I_{BC}&=\frac{311{,}73\angle 65^\circ}{21\angle 35^\circ} =\frac{311{,}73}{21}\angle(65^\circ-35^\circ) =14{,}84\angle 30^\circ\\ \text{A},\\[4pt] I_{CA}&=\frac{311{,}73\angle -55^\circ}{24{,}187\angle 29{,}74^\circ} =\frac{311{,}73}{24{,}187}\angle(-55^\circ-29{,}74^\circ) =12{,}872\angle -84{,}74^\circ\\ \text{A}. \end{aligned}
Observação de checagem: os módulos das correntes e ângulos parecem consistentes com os ramos dados (um ramo com impedância menor dá corrente maior, etc.).]

Passo 6

Converter as correntes dos ramos do \Delta para forma retangular (para facilitar soma/subtração) e calcular as correntes de linha que alimentam o \Delta.
Explicação: para um circuito em \Delta a corrente de linha na fase A é a diferença entre a corrente no ramo AB (saindo de A para B) e a corrente no ramo CA (que vem de C para A). Matematicamente:
I_A^{(\Delta)}=I_{AB}-I_{CA},\qquad I_B^{(\Delta)}=I_{BC}-I_{AB},\qquad I_C^{(\Delta)}=I_{CA}-I_{BC}.
Converter cada I para retangular:
  • Para I_{AB}=23{,}979\angle -150^\circ:
    I_{AB}=23{,}979(\cos -150^\circ + \mathrm{j}\sin -150^\circ) =-20{,}770 - \mathrm{j}\,11{,}990\\ \text{A}.
  • Para I_{BC}=14{,}84\angle 30^\circ:
    I_{BC}=14{,}84(\cos30^\circ + \mathrm{j}\sin30^\circ) =12{,}853 + \mathrm{j}\,7{,}420\\ \text{A}.
  • Para I_{CA}=12{,}872\angle -84{,}74^\circ:
    I_{CA}=12{,}872(\cos -84{,}74^\circ + \mathrm{j}\sin -84{,}74^\circ) \approx 1{,}120 - \mathrm{j}\,12{,}819\\ \text{A}.
Agora as correntes de linha do delta:
\begin{aligned} I_{A}^{(\Delta)}&=I_{AB}-I_{CA}=(-20{,}770-\mathrm{j}\,11{,}990)-(1{,}120-\mathrm{j}\,12{,}819)\\[4pt] &=-21{,}890+\mathrm{j}\,0{,}829\\ \text{A} \end{aligned}
\begin{aligned} I_{B}^{(\Delta)}&=I_{BC}-I_{AB}=(12{,}853+\mathrm{j}\,7{,}420)-(-20{,}770-\mathrm{j}\,11{,}990)\\[4pt] &=33{,}623+\mathrm{j}\,19{,}410\\ \text{A} \end{aligned}
\begin{aligned} I_{C}^{(\Delta)}&=I_{CA}-I_{BC}=(1{,}120-\mathrm{j}\,12{,}819)-(12{,}853+\mathrm{j}\,7{,}420)\\[4pt] &=-11{,}733-\mathrm{j}\,20{,}239\\ \text{A}. \end{aligned}
Converter para forma polar para apresentação final:
\begin{aligned} I_{A}^{(\Delta)}&\approx 21{,}91\angle 177{,}83^\circ\\ \text{A},\\[4pt] I_{B}^{(\Delta)}&\approx 38{,}82\angle 30{,}00^\circ\\ \text{A},\\[4pt] I_{C}^{(\Delta)}&\approx 23{,}39\angle -120{,}00^\circ\\ \text{A}. \end{aligned}
(Verificação rápida: soma das correntes de linha do delta é zero: I_A^{(\Delta)}+I_B^{(\Delta)}+I_C^{(\Delta)}\approx 0, o que confirma consistência.)]

Resposta

I_{A}^{(Y)}=4{,}865\angle 105^\circ\\ \text{A}
I_{B}^{(Y)}=4{,}865\angle -15^\circ\\ \text{A}
I_{C}^{(Y)}=4{,}865\angle -135^\circ\\ \text{A}
I_{A}^{(\Delta)}=21{,}91\angle 177{,}83^\circ\\ \text{A}
I_{B}^{(\Delta)}=38{,}82\angle 30{,}00^\circ\\ \text{A}
I_{C}^{(\Delta)}=23{,}39\angle -120{,}00^\circ\\ \text{A}

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