Questão 2: Um gerador trifásico (\mathrm{Y}) alimenta uma carga (\mathrm{Y})^{\circ} impedância da linha Z_{L}=0,4+j 0,3 \Omega e carga Z_{C}=20 \angle 30^{\circ} \Omega. A tens. de fase é V_{A}=220 \angle 0^{\circ} \mathrm{V}. Determine:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar explicitamente o que foi dado e o que vou determinar — como a pergunta original não explicita as grandezas pedidas, vou calcular as quantidades normalmente exigidas nesse tipo de exercício):
  • Fonte trifásica em conexão em Y (gerador Y) com tensão de fase
V_{A}=220\angle 0^\circ\\ \text{V}.
  • Impedância de linha (por fase, série entre gerador e carga)
Z_{L}=0{,}4 + j\,0{,}3\\ \Omega.
  • Impedância de carga por fase (Y)
Z_{C}=20\angle 30^\circ\\ \Omega.
  • A carga é conectada em Y (simétrica), o que permite análise por fase.
Vou determinar as seguintes quantidades (as mais comuns e úteis para prova):
(a) corrente de fase (corrente em cada condutor de fase) \,I_A;\n
(b) tensão na carga por fase (tensão nos terminais da carga) \,V_{C};\n
(c) queda de tensão na linha por fase \,V_{L};\n
(d) potência complexa total absorvida pela carga (trifásica) \,S_C;\n
(e) perdas de potência ativa total na impedância de linha (trifásica) P_{\text{perda,lin}}.

Passo 2

Modelo do circuito e a ideia geral de solução (explicação didática).
  • Num sistema trifásico equilibrado com fonte em Y e carga em Y simétrica, cada fase é idêntica. Então podemos analisar uma única fase (por exemplo a fase A) e depois multiplicar resultados adequadamente por 3 quando for potência total.
  • O circuito por fase é: fonte de fase V_A em série com Z_L e em seguida Z_C (que vai ao neutro da carga). Logo a impedância total por fase vista pela fonte é
Z_{\text{tot}}=Z_L+Z_C.
  • A corrente de fase é dada pela lei de Ohm em forma fasorial:
I_A=\frac{V_A}{Z_{\text{tot}}}.
  • A tensão sobre a carga por fase é
V_{C}=I_A\;Z_C.
  • A queda de tensão na linha por fase é
V_{L}=I_A\;Z_L.
  • Potência complexa por fase absorvida pela carga é
S_{\text{ph}}=V_{C}\;I_A^{*},
onde I_A^{*} é o conjugado de I_A. A potência trifásica da carga é
S_C=3\,S_{\text{ph}}.
  • Perda ativa por fase na linha (resistiva) é P_{\text{lin,ph}}=|I_A|^{2}R_L, com R_L=\Re(Z_L). Perda trifásica é P_{\text{perda,lin}}=3\,P_{\text{lin,ph}}.
Antes de aplicar números, resumo das fórmulas que serão usadas:
Z_{\text{tot}}=Z_L+Z_C,\qquad I_A=\frac{V_A}{Z_{\text{tot}}},\qquad V_C=I_A Z_C,\qquad V_L=I_A Z_L,
S_C=3\,V_C I_A^{*},\qquad P_{\text{perda,lin}}=3\,|I_A|^{2}\Re(Z_L).

Passo 3

Calcular Z_{\text{tot}}. Primeiro escrevo Z_C em forma retangular (explico como):
  • A representação polar 20\angle 30^\circ significa 20(\cos 30^\circ + j\sin 30^\circ).
\cos 30^\circ=0{,}8660254,\qquad \sin 30^\circ=0{,}5.
Logo
Z_C=20\angle 30^\circ = 20(0{,}8660254 + j\,0{,}5)=17{,}3205 + j\,10.
Agora somo com Z_L=0{,}4 + j\,0{,}3:
Z_{\text{tot}}=Z_L+Z_C=(0{,}4+17{,}3205) + j(0{,}3+10)=17{,}7205 + j\,10{,}3\\ \Omega.
Calculo magnitude e ângulo (úteis para divisão fasorial):
|Z_{\text{tot}}|=\sqrt{17{,}7205^{2}+10{,}3^{2}}\approx 20{,}495\\ \Omega,
\angle Z_{\text{tot}}=\arctan\!\left(\frac{10{,}3}{17{,}7205}\right)\approx 30{,}06^\circ.
Portanto, em forma polar
Z_{\text{tot}}\approx 20{,}495\angle 30{,}06^\circ\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a corrente de fase I_A. Uso I_A=V_A/Z_{\text{tot}}.
  • V_A=220\angle 0^\circ\\ \text{V}.
I_A=\frac{220\angle 0^\circ}{20{,}495\angle 30{,}06^\circ} = \frac{220}{20{,}495}\angle(0^\circ-30{,}06^\circ).
Faço a divisão de magnitudes e subtração de ângulos:
\frac{220}{20{,}495}\approx 10{,}737\\ \text{A}, \qquad \text{ângulo} = -30{,}06^\circ.â
Portanto
I_A\approx 10{,}737\angle -30{,}06^\circ\\ \text{A}.
Observação didática: em sistemas Y equilibrados a corrente de linha é igual à corrente de fase da carga.

Passo 5

Calcular a queda de tensão na linha por fase V_L (explicando o procedimento).
V_L=I_A\,Z_L.
É conveniente usar a forma polar de Z_L. Primeiro encontro magnitude e ângulo de Z_L=0{,}4+j0{,}3:
|Z_L|=\sqrt{0{,}4^{2}+0{,}3^{2}}=\sqrt{0{,}16+0{,}09}=\sqrt{0{,}25}=0{,}5\\ \Omega,
\angle Z_L=\arctan\!\left(\frac{0{,}3}{0{,}4}\right)=36{,}87^\circ.
Então
V_L=10{,}737\angle -30{,}06^\circ \times 0{,}5\angle 36{,}87^\circ =(10{,}737\times 0{,}5})\angle( -30{,}06^\circ +36{,}87^\circ).
V_L\approx 5{,}3685\angle 6{,}81^\circ\\ \text{V}.

Passo 6

Calcular a tensão na carga por fase V_C. Duas maneiras equivalentes: (i) V_C=V_A-V_L ou (ii) V_C=I_A Z_C. Vou usar a expressão V_C=I_A Z_C (mais direta).
  • Lembre que Z_C=20\angle 30^\circ.
V_C=I_A\,Z_C = 10{,}737\angle -30{,}06^\circ \times 20\angle 30^\circ.
Multiplico magnitudes e somo ângulos:
|V_C|=10{,}737\times 20 =214{,}74\\ \text{V}, \qquad \angle V_C = -30{,}06^\circ +30^\circ = -0{,}06^\circ.
Portanto
V_C\approx 214{,}74\angle -0{,}06^\circ\\ \text{V}.
(Verificação rápida: V_A - V_L dá praticamente o mesmo resultado, como esperado — arredondamentos explicam pequenas diferenças.)

Passo 7

Calcular a potência complexa total absorvida pela carga (trifásica) S_C.
  • Primeiro potência por fase:
S_{\text{ph}}=V_C I_A^{*}.
Usando as formas polares:
V_C=214{,}74\angle -0{,}06^\circ,\qquad I_A^{*}=10{,}737\angle +30{,}06^\circ.
Multiplico magnitudes e somo ângulos:
S_{\text{ph}}=214{,}74\times 10{,}737\angle(-0{,}06^\circ+30{,}06^\circ) =2306{,}6\angle 30^\circ\\ \text{VA} \quad(\text{por fase}).
Potência trifásica da carga:
S_C=3\,S_{\text{ph}}=3\times 2306{,}6\angle 30^\circ =6919{,}8\angle 30^\circ\\ \text{VA}.
Em termos de componente ativa e reativa:
P_C=\Re(S_C)=6919{,}8\cos 30^\circ \approx 6919{,}8\times 0{,}866025\approx 5996\\ \text{W},
Q_C=\Im(S_C)=6919{,}8\sin 30^\circ \approx 6919{,}8\times 0{,}5\approx 3460\\ \text{var}.
Portanto
S_C\approx 5996 + j\,3460\\ \text{VA}.

Passo 8

Calcular perdas na linha (trifásicas).
  • Perda ativa por fase na resistência da linha:
P_{\text{lin,ph}}=|I_A|^{2}R_L= (10{,}737)^{2}\times 0{,}4.
Calculo numérico:
|I_A|^{2}\approx 10{,}737^{2}\approx 115{,}27,
P_{\text{lin,ph}}\approx 115{,}27\times 0{,}4\approx 46{,}11\\ \text{W (por fase)}.
Perda ativa total trifásica:
P_{\text{perda,lin}}=3\times 46{,}11\approx 138{,}33\\ \text{W}.
  • Perda reativa associada ao reatância da linha (por fase) Q_{\text{lin,ph}}=|I_A|^{2}X_L com X_L=0{,}3:
Q_{\text{lin,ph}}\approx 115{,}27\times 0{,}3\approx 34{,}58\\ \text{var (por fase)},
Q_{\text{perda,lin}}=3\times 34{,}58\approx 103{,}74\\ \text{var}.

Resposta

I_A \approx 10{,}737\angle -30{,}06^\circ\\ \text{A}\n
V_{C}\\ (\text{tensão na carga por fase}) \approx 214{,}74\angle -0{,}06^\circ\\ \text{V}ã\n
V_{L}\\ (\text{queda por fase na linha}) \approx 5{,}3685\angle 6{,}81^\circ\\ \text{V}\n
S_C\\ (\text{potência total absorvida pela carga}) \approx 6919{,}8\angle 30^\circ\\ \text{VA}ê =\\\ 5996 + j\,3460\\ \text{VA}\n
P_{\text{perda,lin}}\\ (\text{perda ativa total na linha}) \approx 138{,}33\\ \text{W}

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