Uma carga equilibrada ligada em \Delta com impedâncias de 23,5\left\llcorner 68^{\circ} \Omega\right. está ligada a um sistema de três fios de sequência BCA , onde \mathrm{V}_{\mathrm{BC}}=188,8 \mathrm{L}-65^{\circ} \mathrm{V}. Obter as correntes de linha.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Carga em ligação triangular (Delta), equilibrada, com impedância de cada ramo igual a 23{,}5\angle 68^\circ\\ \Omega (peguei este valor do enunciado).
  • O sistema trifásico é de sequência BCA (peguei isto do enunciado).
  • A tensão de linha entre as fases B e C é \displaystyle V_{BC}=188{,}8\angle -65^\circ\\ \mathrm{V} (valor dado).
  • O que se pede: obter as correntes de linha I_A,\\ I_B,\\ I_C (correntes nos condutores de fase A, B e C).

Passo 2

Entendendo a configuração e a relação básica (explicação didática e fórmula):
  • Em ligação em \Delta cada impedância está entre duas linhas. Assim, a tensão aplicada a cada ramo da \Delta é uma tensão de linha (por exemplo, o ramo entre B e C tem a tensão V_{BC}).
  • A corrente de cada ramo da \Delta (vou chamar de corrente de fase do \Delta) é a tensão do ramo dividida pela impedância do ramo:
I_{\text{ramo}}=\frac{V_{\text{ramo}}}{Z_\Delta}.
  • Vou definir orientações positivas dos ramos assim (padrão conveniente):
    • I_{BC} é a corrente do ramo que vai de B para C.
    • I_{CA} é a corrente do ramo que vai de C para A.
    • I_{AB} é a corrente do ramo que vai de A para B.
  • As correntes de linha (correntes nos condutores A, B, C) são combinações das correntes dos ramos da \Delta. Usando a orientação que adotei, valem as relações:
I_A = I_{AB} - I_{CA}, \qquad I_B = I_{BC} - I_{AB}, \qquad I_C = I_{CA} - I_{BC}.
Vou aplicar essas relações depois de calcular os três correntes de ramo.

Passo 3

Determinar as tensões nos outros ramos a partir da sequência BCA (explicando o raciocínio):
  • Em sistema equilibrado as tensões de linha formam um conjunto de três fasores igualmente espaçados em 120^\circ. O enunciado dá \displaystyle V_{BC}=188{,}8\angle -65^\circ.
  • Como a sequência é B\!-\!C\!-\!A, os tensores de linha seguem a ordem \,V_{BC}, depois V_{CA} defasado de -120^\circ em relação a V_{BC}, e depois V_{AB} defasado de mais -120^\circ (ou seja +120^\circ a partir de V_{BC}). Portanto:
V_{BC}=188{,}8\angle -65^\circ\\ \mathrm{V},
V_{CA}=188{,}8\angle\bigl(-65^\circ-120^\circ\bigr)=188{,}8\angle -185^\circ\\ \mathrm{V},
V_{AB}=188{,}8\angle\bigl(-65^\circ+120^\circ\bigr)=188{,}8\angle 55^\circ\\ \mathrm{V}.
(Obs.: ângulos foram reduzidos se desejado, por exemplo -185^\circ equivale a 175^\circ, mas mantive a forma direta para seguir a construção.)

Passo 4

Calcular as correntes de ramo da \Delta (divisão fasorial com explicação):
  • A impedância do ramo é Z_\Delta=23{,}5\angle 68^\circ\\ \Omega. A corrente de cada ramo é \displaystyle I_{\text{ramo}}=V_{\text{ramo}}/Z_\Delta.
  • Como o sistema e a carga são equilibrados, todas as magnitudes de corrente de ramo são iguais; apenas as fases mudam de acordo com as tensões. Faço a divisão para cada ramo:
Cálculo de \,I_{BC}:
I_{BC}=\frac{V_{BC}}{Z_\Delta} =\frac{188{,}8\angle -65^\circ}{23{,}5\angle 68^\circ} =\frac{188{,}8}{23{,}5}\angle\bigl(-65^\circ-68^\circ\bigr).
Agora os números:
\frac{188{,}8}{23{,}5}\approx 8{,}032,
-65^\circ-68^\circ=-133^\circ.
Logo
I_{BC}\approx 8{,}032\angle -133^\circ\\ \mathrm{A}.
Cálculo de \,I_{CA}:
I_{CA}=\frac{V_{CA}}{Z_\Delta} =\frac{188{,}8\angle -185^\circ}{23{,}5\angle 68^\circ} =8{,}032\angle\bigl(-185^\circ-68^\circ\bigr).
-185^\circ-68^\circ=-253^\circ \equiv 107^\circ\\ \text{(somando }360^\circ\text{)}.
Logo
I_{CA}\approx 8{,}032\angle 107^\circ\\ \mathrm{A}.
Cálculo de \,I_{AB}:
I_{AB}=\frac{V_{AB}}{Z_\Delta} =\frac{188{,}8\angle 55^\circ}{23{,}5\angle 68^\circ} =8{,}032\angle\bigl(55^\circ-68^\circ\bigr).
55^\circ-68^\circ=-13^\circ.
Logo
I_{AB}\approx 8{,}032\angle -13^\circ\\ \mathrm{A}.
(Observação didática: note que as três correntes de ramo têm mesma magnitude 8{,}032\\ \mathrm{A} e estão defasadas entre si de 120^\circ, como esperado em carga equilibrada.)

Passo 5

Calcular as correntes de linha usando as relações (faço a soma vetorial detalhada):
  • Vou calcular as componentes retangulares para facilitar a subtração fasorial. Primeiro os valores retangulares (aprox.):
Para I_{AB}=8{,}032\angle -13^\circ:
\Re(I_{AB})=8{,}032\cos(-13^\circ)\approx 7{,}828, \qquad \Im(I_{AB})=8{,}032\sin(-13^\circ)\approx -1{,}807.
Para I_{BC}=8{,}032\angle -133^\circ:
\Re(I_{BC})=8{,}032\cos(-133^\circ)\approx -5{,}480, \qquad \Im(I_{BC})=8{,}032\sin(-133^\circ)\approx -5{,}876.
Para I_{CA}=8{,}032\angle 107^\circ:
\Re(I_{CA})=8{,}032\cos(107^\circ)\approx -2{,}349, \qquad \Im(I_{CA})=8{,}032\sin(107^\circ)\approx 7{,}681.
Agora uso as fórmulas:
I_A = I_{AB} - I_{CA}.
Componentes:
\Re(I_A)=7{,}828 - (-2{,}349)=10{,}177,
\Im(I_A)=-1{,}807 - 7{,}681=-9{,}488.
Magnitute e ângulo:
|I_A|=\sqrt{10{,}177^{2}+(-9{,}488)^{2}}\approx 13{,}912\\ \mathrm{A},
\angle I_A=\arctan\!\left(\frac{-9{,}488}{10{,}177}\right)\approx -43{,}5^\circ.
Portanto
I_A\approx 13{,}912\angle -43{,}5^\circ\\ \mathrm{A}.
Agora
I_B = I_{BC} - I_{AB}.
Componentes:
\Re(I_B)=-5{,}480 - 7{,}828=-13{,}308,
\Im(I_B)=-5{,}876 - (-1{,}807)=-4{,}069.
Magnitute e ângulo:
|I_B|=\sqrt{(-13{,}308)^{2}+(-4{,}069)^{2}}\approx 13{,}912\\ \mathrm{A},
\angle I_B=\arctan\!\left(\frac{-4{,}069}{-13{,}308}\right)\approx -163{,}0^\circ.
Portanto
I_B\approx 13{,}912\angle -163{,}0^\circ\\ \mathrm{A}.
Finalmente
I_C = I_{CA} - I_{BC}.
Componentes:
\Re(I_C)=-2{,}349 - (-5{,}480)=3{,}131,
\Im(I_C)=7{,}681 - (-5{,}876)=13{,}557.
Magnitute e ângulo:
|I_C|=\sqrt{3{,}131^{2}+13{,}557^{2}}\approx 13{,}912\\ \mathrm{A},
\angle I_C=\arctan\!\left(\frac{13{,}557}{3{,}131}\right)\approx 77{,}5^\circ.
Portanto
I_C\approx 13{,}912\angle 77{,}5^\circ\\ \mathrm{A}.
(Comentário didático: como conferência, note que 13{,}912\approx\sqrt{3}\times 8{,}032, mostrando a identidade prática em delta equilibrado:
|I_{\text{linha}}|=\sqrt{3}\,|I_{\text{ramo}}|.
Os ângulos também aparecem defasados entre corrente de linha e corrente de ramo por cerca de 30^\circ, dependendo do sentido; aqui os cálculos vetoriais garantem o sinal correto.)

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida:
  • As três correntes de linha têm mesma magnitude 13{,}912\\ \mathrm{A} e estão defasadas de 120^\circ entre si (ver ângulos: -43{,}5^\circ,\\\ -163{,}0^\circ,\\\ 77{,}5^\circ diferem aproximadamente por 120^\circ). Isso confirma coerência para uma carga equilibrada.
  • Valores arredondados são apresentados na seção de resposta.

Resposta

I_A=13{,}912\angle -43{,}5^\circ\\ \mathrm{A}
I_B=13{,}912\angle -163{,}0^\circ\\ \mathrm{A}
I_C=13{,}912\angle 77{,}5^\circ\\ \mathrm{A}

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