Se a carga for distribuída ao longo do anel com uma distribuição linear dada por \rho_{L}=\frac{Q}{8 \pi}, determine o potencial no centro do anel.

Passo 1

O enunciado dá uma carga total Q distribuída ao longo de um anel (uma distribuição linear) com densidade linear
\rho_{L}=\frac{Q}{8\pi}.
Pede-se o potencial elétrico no centro do anel. Informações relevantes que temos: a densidade linear \rho_{L} (constante ao longo do anel) e a carga total Q. O que precisamos encontrar: o potencial elétrico V no ponto central do anel.

Passo 2

Primeiro vamos deduzir o raio do anel a partir da densidade linear fornecida. A carga total Q também pode ser escrita como densidade linear vezes o comprimento do anel (circunferência):
Q=\rho_{L}\cdot L=\rho_{L}\cdot (2\pi R).
Substituindo \rho_{L}=\dfrac{Q}{8\pi} na expressão acima:
Q=\left(\frac{Q}{8\pi}\right)\cdot(2\pi R).
Agora simplificamos para achar R. Primeiro simplificando a fração:
Q=\frac{Q}{8\pi}\cdot 2\pi R = Q\cdot\frac{2\pi R}{8\pi}=Q\cdot\frac{R}{4}.
Dividindo ambos os lados por Q (assumindo Q\neq 0) obtemos
1=\frac{R}{4}\quad\Rightarrow\quad R=4.
Ou seja, o anel tem raio R=4 (unidades compatíveis com as do enunciado).

Passo 3

Agora vamos calcular o potencial no centro. Lembra: o potencial elétrico produzido por uma carga pontual dq a uma distância r é dado por Coulomb:
dV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dq}{r},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, dq é a carga do elemento, e r é a distância do elemento até o ponto onde calculamos o potencial. No nosso caso, todos os elementos do anel estão à mesma distância do centro, essa distância é o raio R. Portanto r=R é constante ao longo da integração.
Também precisamos relacionar dq com a densidade linear. Para um elemento de comprimento dl ao longo do anel temos
dq=\rho_{L}\,dl.
Usando coordenada angular \varphi ao redor do anel, dl=R\,d\varphi. Logo
dq=\rho_{L} R\,d\varphi.

Passo 4

Agora substituímos em dV. Como a distância até o centro é R, temos
dV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\rho_{L} R\,d\varphi}{R}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\rho_{L}\,d\varphi.
Perceba a mágica da simetria: o R cancela, então o integrando é constante em \varphi. Integramos \varphi de 0 a 2\pi para somar todas as contribuições do anel:
V=\int_{0}^{2\pi} dV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\rho_{L}\int_{0}^{2\pi} d\varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\rho_{L}\,(2\pi).
Substituindo \rho_{L}=\dfrac{Q}{8\pi} obtemos
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{8\pi}\cdot 2\pi.
Agora simplificamos: \dfrac{2\pi}{8\pi}=\dfrac{1}{4}. Portanto
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{4}=\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0}.
Como verificação alternativa mais direta: para um anel com carga total Q e raio R o potencial no centro é
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R}.
Com R=4 isso dá
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{4}=\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0},
mesma resposta — ufa, bate certinho.

Passo 5

Resumo didático rápido (para gravar na cabeça na hora da prova): use superposição (integral de dV), note que para um anel o módulo da distância até o centro é constante, então a integral fica muito simples. Sempre expresse dq em função da densidade (aqui \rho_L) e do elemento de comprimento dl (aqui dl=R\,d\varphi). Se a densidade é dada em termos de Q, não esqueça de poder usá-la para descobrir R quando for necessário, como fizemos aqui.

Resposta

\displaystyle V=\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0}

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