Se a carga for distribuída ao longo do anel com uma distribuição linear dada por
, determine o potencial no centro do anel.
Passo 1
O enunciado dá uma carga total
distribuída ao longo de um anel (uma distribuição linear) com densidade linear
Pede-se o potencial elétrico no centro do anel. Informações relevantes que temos: a densidade linear
(constante ao longo do anel) e a carga total
. O que precisamos encontrar: o potencial elétrico
no ponto central do anel.
Passo 2
Primeiro vamos deduzir o raio do anel a partir da densidade linear fornecida. A carga total
também pode ser escrita como densidade linear vezes o comprimento do anel (circunferência):
Substituindo
na expressão acima:
Agora simplificamos para achar
. Primeiro simplificando a fração:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
) obtemos
Ou seja, o anel tem raio
(unidades compatíveis com as do enunciado).
Passo 3
Agora vamos calcular o potencial no centro. Lembra: o potencial elétrico produzido por uma carga pontual
a uma distância
é dado por Coulomb:
onde
é a permissividade do vácuo,
é a carga do elemento, e
é a distância do elemento até o ponto onde calculamos o potencial. No nosso caso, todos os elementos do anel estão à mesma distância do centro, essa distância é o raio
. Portanto
é constante ao longo da integração.
Também precisamos relacionar
com a densidade linear. Para um elemento de comprimento
ao longo do anel temos
Usando coordenada angular
ao redor do anel,
. Logo
Passo 4
Agora substituímos em
. Como a distância até o centro é
, temos
Perceba a mágica da simetria: o
cancela, então o integrando é constante em
. Integramos
de
a
para somar todas as contribuições do anel:
Substituindo
obtemos
Agora simplificamos:
. Portanto
Como verificação alternativa mais direta: para um anel com carga total
e raio
o potencial no centro é
Com
isso dá
mesma resposta — ufa, bate certinho.
Passo 5
Resumo didático rápido (para gravar na cabeça na hora da prova): use superposição (integral de
), note que para um anel o módulo da distância até o centro é constante, então a integral fica muito simples. Sempre expresse
em função da densidade (aqui
) e do elemento de comprimento
(aqui
). Se a densidade é dada em termos de
, não esqueça de poder usá-la para descobrir
quando for necessário, como fizemos aqui.