Um tipo de condutor muito utilizado em instalações residenciais é o fio de cobre de seção de 1,5 m m^{2}. Sabendo que a resistividade do cobre a 20^{\circ} \mathrm{C} é 1,72 \times 10^{-8} \Omega m, calcule a resistência oferecida por um circuito cuja fonte de tensão continua está a 90 m de distância da sua carga. A fonte de tensão tem uma fem de 120 V e a carga é um dispositivo com uma resistência de 10 \Omega.
a) Calcule a corrente que circularia no circuito, se a resistência do condutor fosse desprezível e a corrente que circularia no caso real (considerando a resistência total do condutor).

Passo 1

O enunciado pede que calculemos as correntes em duas situações: (i) supondo que a resistência do condutor é desprezível e (ii) considerando a resistência real do condutor. Dados fornecidos pelo enunciado: \rho(\text{cobre},20^\circ\text{C}) = 1,72 \times 10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}, seção do fio = 1{,}5\\ \mathrm{mm}^2, distância entre fonte e carga = 90\\ \mathrm{m}, fem da fonte = 120\\ \mathrm{V} e resistência da carga = 10\\ \Omega. Observação importante: para fechar o circuito existe fio de ida e fio de volta, então o comprimento total de fio por onde passa corrente é o dobro da distância entre fonte e carga. Não resolvemos nada aqui, apenas listei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vamos transformar as unidades para o Sistema Internacional e definir a fórmula que liga resistividade, comprimento, área e resistência do fio. Conversão da área: 1{,}5\\ \mathrm{mm}^2 = 1{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 (pois 1\\ \mathrm{mm}^2 = 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2). Comprimento total do condutor: como há ida e volta,
L = 2 \times 90\\ \mathrm{m} = 180\\ \mathrm{m}.
Fórmula da resistência de um fio homogêneo: se \rho é a resistividade do material (em \Omega\cdot\mathrm{m}), L o comprimento (em \mathrm{m}) e A a área da seção transversal (em \mathrm{m}^2), então a resistência do fio é
R_{\text{fio}} = \rho \frac{L}{A}.
Explico a fórmula: resistividade \rho é uma propriedade do material que diz quão difícil é para a corrente passar; quanto maior \rho, maior a resistência para um mesmo fio. O termo L/A mostra que a resistência aumenta com o comprimento e diminui com a área da seção.

Passo 3

Calculemos a resistência do fio usando os valores numéricos. Primeiro o quociente \rho/A:
\frac{\rho}{A} = \frac{1{,}72\times10^{-8}}{1{,}5\times10^{-6}}.
Faço a divisão de potências de 10 e dos coeficientes:
\frac{1{,}72}{1{,}5} \approx 1{,}146\overline{6} \quad\text{e}\quad 10^{-8}/10^{-6}=10^{-2},
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\frac{\rho}{A} \approx 1{,}146\overline{6}\times10^{-2}=0{,}0114666\ldots\\ \Omega/\mathrm{m}.
Agora multiplico por L=180\\ \mathrm{m}:
R_{\text{fio}} = 0{,}0114666\ldots \times 180 \approx 2{,}064\\ \Omega.
Interpretação: o fio de cobre fino e longo oferece cerca de 2{,}064\\ \Omega de resistência no caminho ida+volta.

Passo 4

Monte a resistência total do circuito real somando a resistência da carga e a resistência dos condutores:
R_{\text{total}} = R_{\text{carga}} + R_{\text{fio}} = 10\\ \Omega + 2{,}064\\ \Omega = 12{,}064\\ \Omega.
Aqui R_{\text{carga}}=10\\ \Omega é a resistência do dispositivo (dado).

Passo 5

Calcule a corrente quando a resistência do condutor é desprezível. Nesse caso a única resistência significativa é a da carga e aplicamos a lei de Ohm: I = V/R. Assim,
I_{\text{desprez}} = \frac{120\\ \mathrm{V}}{10\\ \Omega} = 12\\ \mathrm{A}.
Explicando a lei de Ohm de forma simples: a corrente é a razão entre a tensão aplicada e a resistência que a tensão “enfrenta”. Se a resistência do fio fosse zero, toda a tensão cai na carga.

Passo 6

Calcule a corrente no caso real, usando a resistência total encontrada no Passo 4 e novamente a lei de Ohm:
I_{\text{real}} = \frac{120\\ \mathrm{V}}{R_{\text{total}}} = \frac{120}{12{,}064}\\ \mathrm{A} \approx 9{,}95\\ \mathrm{A}.
Interpretação didática: por causa da resistência dos fios, a corrente cai de 12\\ \mathrm{A} para cerca de 9{,}95\\ \mathrm{A}. Isso significa que parte da tensão da fonte é “perdida” (queda de tensão) nos cabos; na prática isso reduz a potência entregue à carga.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): calcular a queda de tensão nos fios para ver se faz sentido. Queda de tensão nos fios:
V_{\text{queda}} = I_{\text{real}}\times R_{\text{fio}} \approx 9{,}95\\ \mathrm{A}\times 2{,}064\\ \Omega \approx 20{,}5\\ \mathrm{V}.
Então a tensão na carga seria aproximadamente 120 - 20{,}5 \approx 99{,}5\\ \mathrm{V}, e 99{,}5/10\approx9{,}95\\ \mathrm{A}, que é consistente. Isso mostra a lógica de consistência do cálculo.

Resposta

I_{\text{desprez}} = 12\\ \mathrm{A}
I_{\text{real}} \approx 9{,}95\\ \mathrm{A}

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