Se a carga for distribuída ao longo do anel com uma distribuição linear dada por rhoL=ell8 pi determine o potencial no centro do anel.

Passo 1

Resumindo: temos um anel de raio a no qual a carga está distribuída ao longo da circunferência com densidade linear uniforme
rhoL=ell8pi,
Queremos encontrar o potencial elétrico V no centro do anel. O assunto aqui é potencial devido a uma distribuição de carga linear, e vamos usar a fórmula
V(r) = 14pivarepsilon0integral dQ|r-r'|,,
especificamente para r no centro, onde a distância até cada elemento de carga é constante.

Passo 2

Escrevemos o elemento de carga em função do elemento de comprimento dl ao longo do anel:
dQ = rhoL,dl = ell8pi,dl
Como estamos avaliando o potencial no centro do anel, a distância de qualquer ponto da circunferência ao centro é exatamente a. Logo, no integrando o denominador será sempre a.

Passo 3

Substituímos na expressão do potencial e tiramos constantes para fora da integral:
V(0) = 14pivarepsilon0integralaneldQa = 14pivarepsilon0,1a integralaneldQ = 14pivarepsilon0,a;Qtotal
Aqui Qtotal = integralaneldQ.

Passo 4

Calculamos Qtotal usando dQ = (ell/8pi),dl e integralaneldl = 2pi a:
Qtotal = ell8pi,l(2pi ar) = ell,a4
Substituindo em V(0):
V(0) = 14pivarepsilon0,a;ell,a4 = ell16pivarepsilon0,

Resposta

Vcentro = ell16pivarepsilon0

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