No espaço livre, V=x^2 y(z+3) V. Determine: \
(a) E em (3,4,-6) \
(b) a carga dentro de um cubo de dimensões 0<x, y, z<1

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico escalar no espaço livre
V = x^2y(z+3)
e pede:
(a) o campo elétrico E em (3,4,-6);
(b) a carga total dentro do cubo definido por 0<x<1, 0<y<1, 0<z<1.
Para resolver (a) usamos E = -nabla V. Para (b) aplicamos a lei de Gauss local, nablacdotE=rho/varepsilon0, ou seja rho=-varepsilon0nabla^2V, e depois integramos rho sobre o volume.

Passo 2

Calculamos o gradiente de V:
partial Vpartial x =2x,y,(z+3), partial Vpartial y =x^2,(z+3), partial Vpartial z =x^2y
Logo,
E=-nabla V =l(-2xy(z+3),,-x^2(z+3),,-x^2yr)

Passo 3

Para (x,y,z)=(3,4,-6) temos z+3=-3.
partial Vpartial xg|(3,4,-6) =2cdot3cdot4cdot(-3)=-72, partial Vpartial yg|(3,4,-6) =3^2cdot(-3)=-27, partial Vpartial zg|(3,4,-6) =3^2cdot4=36
Portanto
E(3,4,-6) =l(-(-72),, -(-27),, -36r) =(72,;27,;-36),V/m

Passo 4

Agora obtemos a densidade de carga. Como
nablacdotE =-nabla^2V,
temos
nabla^2V =partial^2Vpartial x^2 +partial^2Vpartial y^2 +partial^2Vpartial z^2 =2y(z+3)+0+0 =2y(z+3)
Logo
rho=-varepsilon0,nabla^2V =-2varepsilon0,y(z+3)

Passo 5

Integramos rho no cubo 0<x,y,z<1:
Q =integral0^1!!integral0^1!!integral0^1rho,dx,dy,dz =-2varepsilon0 integral0^1!!integral0^1!!integral0^1y(z+3),dx,dy,dz
Como o integrando não depende de x, integral0^1dx=1, e
integral0^1y,dy=12, integral0^1(z+3),dz =12+3=72
Portanto
Q =-2varepsilon0times1times12times72 =-72,varepsilon0

Resposta

(a) E(3,4,-6)=(72,;27,;-36),V/m
(b) Q=-tfrac72,varepsilon0

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