7-)A carga de uma instalação industrial é 500 KVA para um FP 80 \% indutivo. Calcule o fator de potência da carga adicional de um motor síncrono de 120 KW se ele aumentar o fator de potência da instalação para 1.
\begin{aligned} & V_{f}=\frac{V_{L}}{\sqrt{3}} \quad I_{f}=\frac{I_{L}}{\sqrt{3}} \quad V=I R \quad P_{f}=V_{f} I_{f} \cos \theta \quad Q_{f}=V_{f} I_{f} \operatorname{sen} \theta \\ & S_{f}=V_{f} I_{f} \quad P_{T}=3 P_{f}=\sqrt{3} V_{L} I_{L} \cos \theta \quad Q_{T}=3 Q_{f}=\sqrt{3} V_{L} I_{L} \operatorname{sen} \theta \\ & S_{T}=3 S_{f}=\sqrt{3} V_{L} I_{L} \quad \frac{V_{P}}{V_{S}}=\frac{N_{P}}{N_{S}} \quad \frac{V_{P}}{V_{S}}=\frac{I_{S}}{I_{P}} \quad \frac{Z_{P}}{Z_{S}}=\left(\frac{N_{P}}{N_{S}}\right)^{2} \quad P_{c u}=I_{P}^{2} R_{P}+I_{S}^{2} R_{S} \\ & E_{f}=\frac{P_{S}}{P_{P}}=\frac{V_{S} I_{S} F p}{V_{S} I_{S} F p+P_{c u}+P_{\text {nucleo }}} \quad N=\frac{f 120}{P} \quad S=\frac{N-N_{2}}{N} \quad f_{2}=s f_{1} \\ & \quad T=k \varphi I_{R} \cos \theta_{R} \quad I_{n}=\frac{P_{n} 10^{3}}{V_{n} \eta \cos \theta} \quad I_{n}=\frac{P_{n} 10^{3}}{\sqrt{3} V_{n} \eta \cos \theta} \quad I_{\text {adm }}=I_{n}+\frac{I_{a}}{3} \end{aligned}

Passo 1

Dados fornecidos e o que é pedido:
\begin{aligned} &\text{Carga da instalação (aparente): } S_{1}=500\\ \text{kVA} \\\ &\text{Fator de potência da instalação: } \mathrm{FP}_{1}=0{,}80\\ \text{(indutivo)} \\\ &\text{Potência real do motor adicional: } P_{m}=120\\ \text{kW} \\\ &\text{Fator de potência final do conjunto: } \mathrm{FP}_{T}=1{,}0 \end{aligned}çãêçãêê
Pergunta: determinar o fator de potência do motor adicional (ou seja, \mathrm{FP}_{m}=\cos\theta_{m}) necessário para que, ao ser ligado, o fator de potência total fique igual a 1.

Passo 2

Calcular a potência ativa e reativa da carga inicial usando as relações básicas.
Explicação rápida das fórmulas que vamos usar:
P = S\cos\theta\quad\text{(potência ativa, em kW)}ê
Q = S\sin\theta\quad\text{(potência reativa, em kVAr)}ê
onde S é a potência aparente (kVA), \cos\theta é o fator de potência e \sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}.
Aplicando à instalação:
P_{1}=S_{1}\cdot \mathrm{FP}_{1}=500\cdot 0{,}80=400\\ \text{kW}
\sin\theta_{1}=\sqrt{1-0{,}8^{2}}=\sqrt{1-0{,}64}=\sqrt{0{,}36}=0{,}6
Q_{1}=S_{1}\cdot \sin\theta_{1}=500\cdot 0{,}6=300\\ \text{kVAr}
Observação: como o fator inicial é indutivo, Q_{1} é positiva (consumo reativo indutivo).

Passo 3

Determinar as potências totais após ligar o motor.
A potência ativa total será a soma das ativas:
P_{T}=P_{1}+P_{m}=400+120=520\\ \text{kW}
Para que o fator de potência total seja 1, a potência reativa total deve ser zero:
Q_{T}=0 \Rightarrow Q_{1}+Q_{m}=0
Logo:
Q_{m}=-Q_{1}=-300\\ \text{kVAr}
Interpretação: o motor deve fornecer 300\\ \text{kVAr} de reativo com sinal negativo, isto é, ele deve gerar reativo (comportamento adiantado/um efeito equivalente a capacitância).

Passo 4

Relacionar a reativa do motor com seu fator de potência.
Para o motor:
P_{m}=S_{m}\cos\theta_{m}\quad\text{e}\quad Q_{m}=S_{m}\sin\theta_{m}
Dividindo as duas equações obtemos:
\tan\theta_{m}=\frac{Q_{m}}{P_{m}}
Substituindo Q_{m}=-300\\ \text{kVAr} e P_{m}=120\\ \text{kW}:
\tan\theta_{m}=\frac{-300}{120}=-2{,}5
Significado: \tan\theta_{m} negativo indica que \theta_{m} é negativo (ângulo de potência em avanço).

Passo 5

Calcular o cosseno (fator de potência) a partir da tangente.
Relação trigonométrica útil:
\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}}
Aplicando:
\cos\theta_{m}=\frac{1}{\sqrt{1+(-2{,}5)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+6{,}25}}=\frac{1}{\sqrt{7{,}25}}
\cos\theta_{m}=\frac{1}{2{,}6925824\ldots}\approx 0{,}3714
Verificação alternativa (mesmo resultado): calcular S_{m}=\sqrt{P_{m}^{2}+Q_{m}^{2}}=\sqrt{120^{2}+300^{2}}=\sqrt{104400}\approx 323{,}2\\ \text{kVA} e então \mathrm{FP}_{m}=P_{m}/S_{m}=120/323{,}2\approx 0{,}3714.

Passo 6

Interpretação final e arredondamento amigável:
O motor deve operar com fator de potência aproximadamente \mathrm{FP}_{m}=0{,}371 em avanço (adiantado), ou seja, \mathrm{FP}_{m}\approx 0{,}371 (adiantado).

Resposta

0{,}371 (adiantado)

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