Uma área de controle dispõe de duas unidades geradoras, de 100 MW e 300 MW , para suprir uma carga de 200 MW .
Sabe-se que o coeficiente de amortecimento (D) é 0,5 pu (na base de 100 MVA e 60 Hz ) e que os estatismos (R) das unidades são iguais a 5 \% na base de cada máquina ( 100 MW e 300 MW , respectivamente).
Sabe-se, também, que a máquina 1 é ajustada para fornecer 50 MW à frequência nominal, enquanto que a máquina 2 supre 150 MW .
Considerando-se um súbito aumento de carga de 50 MW , determinar:
a. Desvio de frequência em regime permanente
b. Acréscimo de geração em cada unidade

Passo 1

O enunciado pede duas coisas após um aumento súbito de carga de 50\\ \text{MW}:
a. o desvio de frequência em regime permanente;
b. o acréscimo de geração em cada unidade (quantos MW a mais cada máquina passa a entregar).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • Máquina 1: capacidade 100\\ \text{MW}, geração inicial 50\\ \text{MW}.
  • Máquina 2: capacidade 300\\ \text{MW}, geração inicial 150\\ \text{MW}.
  • Carga inicial total: 200\\ \text{MW}.
  • Aumento súbito de carga: \Delta P_{carga}=+50\\ \text{MW}.
  • Coeficiente de amortecimento (damping): D=0,5\\ \text{pu} (na base de 100\\ \text{MVA} e 60\\ \text{Hz}).
  • Estatismo (droop) de cada máquina: R_1=R_2=5\%=0,05 (cada R dado na base da respectiva máquina).
  • Base do sistema definida no enunciado: 100\\ \text{MVA} (logo 100\\ \text{MW} corresponde a 1{,}0\\ \text{pu}).
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Vou modelar como a resposta estacionária da frequência e a repartição do aumento de carga entre as máquinas. Primeiro, explico as fórmulas usadas (passo-a-passo, como você pediu).
  1. Conceito de droop (estatismo) e relação máquina-frequência:
    • O droop R_i mede quanto a frequência varia quando a máquina varia sua potência na sua escala. Com a convenção usada aqui, a relação linear entre variação de potência da máquina i e variação de frequência em pu é
    \Delta P_{i}^{(pu)} = -\frac{P_{r,i}^{(pu)}}{R_i}\,\Delta f_{pu}.
    Explicando cada termo:
    • \Delta P_{i}^{(pu)} é a variação de potência da máquina i, em pu na base do sistema (aqui base 100\\ \text{MW}). Variação positiva significa que a máquina aumentou sua geração.
    • P_{r,i}^{(pu)} é a potência nominal (capacidade) da máquina i em pu na base do sistema.
    • R_i é o droop em pu (por exemplo 0,05).
    • \Delta f_{pu} é a variação de frequência em pu (ou seja \Delta f / f_0, com f_0=60\\ \text{Hz}).
      O sinal menos indica que se a frequência cair ( \Delta f_{pu}<0) então a máquina aumenta potência ( \Delta P_i>0) — isso é o comportamento esperado do regulador.
  2. Efeito do amortecimento (damping D):
    • Parte da carga é dependente da frequência (ou existe amortecimento mecânico), modelada por \Delta P_{damping}=D\,\Delta f_{pu} (em pu, mesma base).
    • Se \Delta f_{pu}<0 (queda de frequência), então \Delta P_{damping}<0: a carga dependente de frequência diminui, aliviando parte do aumento de carga original.
  3. Balanço de potência em regime permanente:
    • A variação total de geração (soma das \Delta P_i) deve suprir o aumento de carga menos o efeito da variação de carga dependente de frequência. Escrevendo de forma consistente (tudo em pu na mesma base):
    \sum_i \Delta P_i^{(pu)} = \Delta P_{carga}^{(pu)} + \Delta P_{damping}^{(pu)}.
    Substituindo \Delta P_{damping}=D\,\Delta f_{pu} e \Delta P_i^{(pu)} pela expressão do droop, obtemos a equação que permite calcular \Delta f_{pu}.

Passo 3

Faço as conversões para pu na base do sistema (base 100\\ \text{MW}) e calculo os coeficientes numéricos usados na equação:
  1. Potências nominais em pu (base 100\\ \text{MW}):
P_{r,1}^{(pu)}=\frac{100}{100}=1{,}0,\qquad P_{r,2}^{(pu)}=\frac{300}{100}=3{,}0.
  1. Droops: R_1=R_2=0{,}05 (já em pu).
  2. Aumento de carga em pu:
\Delta P_{carga}^{(pu)}=\frac{50}{100}=0{,}5.
  1. Coeficiente combinado das máquinas (soma dos termos P_{r,i}/R_i):
K=\sum_i \frac{P_{r,i}^{(pu)}}{R_i}=\frac{1{,}0}{0{,}05}+\frac{3{,}0}{0{,}05}=20+60=80.
(Lembre-se: K tem unidade pu por pu de frequência, ou seja multiplica \Delta f_{pu} para dar \Delta P^{(pu)}.)
  1. Dado D=0{,}5\\ \text{pu} (na mesma base).

Passo 4

Agora monto e resolvo a equação do balanço de potência para \Delta f_{pu}.
Partindo de
\sum_i \Delta P_i^{(pu)} = \Delta P_{carga}^{(pu)} + D\,\Delta f_{pu},
e substituindo \sum_i \Delta P_i^{(pu)} = -K\,\Delta f_{pu}, obtemos
- K\,\Delta f_{pu} = \Delta P_{carga}^{(pu)} + D\,\Delta f_{pu}.
Reagrupando os termos em \Delta f_{pu}:
-(K + D)\,\Delta f_{pu} = \Delta P_{carga}^{(pu)}.
Logo
\Delta f_{pu} = -\frac{\Delta P_{carga}^{(pu)}}{K + D}.
Substituindo os números:
\Delta f_{pu} = -\frac{0{,}5}{80 + 0{,}5} = -\frac{0{,}5}{80{,}5} \approx -0{,}00621118.
Convertendo para Hz (como f_0=60\\ \text{Hz}):
\Delta f = \Delta f_{pu}\cdot 60 \approx -0{,}00621118 \times 60 \approx -0{,}37267\\ \text{Hz}.
Interpretação: a frequência cai aproximadamente 0{,}373\\ \text{Hz} em regime permanente após o aumento de carga.

Passo 5

Agora calculo o acréscimo de geração em cada unidade (em pu e em MW), usando a relação do droop:
\Delta P_{i}^{(pu)} = -\frac{P_{r,i}^{(pu)}}{R_i}\,\Delta f_{pu}.
Para a máquina 1:
\Delta P_{1}^{(pu)} = -\frac{1{,}0}{0{,}05}\cdot(-0{,}00621118) = -20\cdot(-0{,}00621118)=0{,}1242236\\ \text{pu}.
Em MW (base 100 MW):
\Delta P_{1} = 0{,}1242236 \times 100\\ \text{MW} \approx 12{,}42\\ \text{MW}.
Para a máquina 2:
\Delta P_{2}^{(pu)} = -\frac{3{,}0}{0{,}05}\cdot(-0{,}00621118) = -60\cdot(-0{,}00621118)=0{,}3726708\\ \text{pu}.
Em MW:
\Delta P_{2} = 0{,}3726708 \times 100\\ \text{MW} \approx 37{,}27\\ \text{MW}.
Verificação rápida (balanço): soma das variações das máquinas =12{,}42+37{,}27=49{,}69\\ \text{MW}. A carga aumentou 50\\ \text{MW}, mas parte disso ( D\cdot\Delta f = 0{,}5\cdot(-0{,}00621118) = -0{,}0031056\\ \text{pu}\approx -0{,}31\\ \text{MW}) foi aliviada pela dependência com a frequência, então as máquinas só precisaram aumentar cerca de 49{,}69\\ \text{MW} — bate com os valores calculados.

Passo 6

Resumo físico e dicas para prova (rápido, prático e motivador):
  • Use sempre uma única base consistente (aqui 100 MW) e converta as capacidades das máquinas para pu nessa base.
  • A fórmula-chave para regime permanente é a soma das respostas das máquinas (pela droop) igual ao aumento de carga mais o termo de damping. Rearranje para achar \Delta f_{pu}.
  • Depois calcule \Delta P_i com a relação do droop.
    Você já tem o passo-a-passo para aplicar em questões similares — respira, faz as contas com calma e confia no procedimento.

Resposta

a. \Delta f \approx -0{,}3727\\ \text{Hz}
b. \Delta P_{1}\approx 12{,}42\\ \text{MW};\\ \Delta P_{2}\approx 37{,}27\\ \text{MW}

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