Uma carga de -4,0 \mu \mathrm{C} está localizada na origem e uma outra carga de -5,0 \mu \mathrm{C} está localizada em
y=2,0 \mathrm{~m}. Em que ponto ao longo do eixo y o campo elétrico total é nulo?

Passo 1

O enunciado diz que há duas cargas pontuais negativas ao longo do eixo y:
Q_{1}=-4{,}0\,\mu\mathrm{C} em y=0 (origem).
Q_{2}=-5{,}0\,\mu\mathrm{C} em y=2{,}0\,\mathrm{m}.
Pede-se o ponto (valor de y) no eixo y onde o campo elétrico resultante \vec E=\vec E_{1}+\vec E_{2} é nulo.
Conteúdo: campo elétrico de carga pontual e princípio da superposição.

Passo 2

Para que \vec E_{1}+\vec E_{2}=0 seja possível, os vetores \vec E_{1} e \vec E_{2} devem ter sentidos opostos.
– Se y>2, ambas as cargas estão abaixo do ponto e geram campos para baixo (mesmo sentido).
– Se y<0, ambas as cargas estão acima do ponto e geram campos para cima (mesmo sentido).
Logo, só há solução em 0<y<2, onde E_{1} aponta para baixo e E_{2} para cima.

Passo 3

No eixo y, em 0<y<2:
– Distância até Q_{1}: r_{1}=y.
– Distância até Q_{2}: r_{2}=2-y.
A condição \vec E_{1}+\vec E_{2}=0 equivale a igualar as magnitudes:
\frac{k\,|Q_{1}|}{y^{2}} = \frac{k\,|Q_{2}|}{(2-y)^{2}}
Como k e os sinais foram levados em conta nos sentidos, simplificamos para
\frac{4}{y^{2}}=\frac{5}{(2-y)^{2}}.

Passo 4

Resolver
4\,(2-y)^{2}=5\,y^{2}.
Como em 0<y<2 temos 2-y>0, podemos tirar raiz:
2\,(2-y)=\sqrt{5}\,y \quad\Longrightarrow\quad 4-2y=\sqrt{5}\,y \quad\Longrightarrow\quad 4=y\,(2+\sqrt{5})
\therefore y=\frac{4}{2+\sqrt{5}} =\;4(\sqrt{5}-2) \approx0{,}944\;\mathrm{m}.

Resposta

O campo elétrico total é nulo em
y=4(\sqrt{5}-2)\approx0{,}94\;\mathrm{m}.

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